Zu (a):
für beliebige \(\theta \in V^*, u \in U\) gilt:
\((f+g)^*(\theta)(u)=(\theta\circ(f+g))(u)=\theta ((f+g)(u))=\theta(f(u)+g(u))=\)
\(=\theta(f(u))+\theta(g(u))=f^*(\theta)(u)+g^*(\theta)(u)=(f^*(\theta)+g^*(\theta))(u)\).
Da \(u\in U\) beliebig ist, folgt \((f^*+g^*)(\theta)=f^*(\theta)+g^*(\theta)\).
Da \(\theta\) beliebig ist, folgt \((f+g)^*=f^*+g^*\).
Nun seien \(c\in K,\theta \in V^*, u\in U\) beliebig. Dann gilt:
\((cf)^*(\theta)(u)=(\theta\circ(cf)(u)=\theta((cf(u))=c\theta(f(u))=(cf^*(\theta)(u)\).
Da \u\) und \(\theta\) beliebig sind, folgt \((cf)^*=cf^*\).
Zu (b):
\(f\) sei Epimorphismus und sei \(\theta\in Kern(f^*)\). Dann gilt:
\(f^*(\theta)=0\), d.h. \( \theta(f(u))=0\) für beliebige \(u\in U\), also
ist \(\theta\) auf dem Bild von \(f\) die Nullabbildung und da
\(f\) surjektiv ist, ist dieses Bild \(=V\), also \(\theta=0\), d.h.
\(f^*\) ist injektiv.
