Question

Es seien K ein Körper und V,W K-Vektorräume. Mit Hom_K(V,W) bezeichnen wir die Menge der linearen Abbildungen von V nach W. Wir definieren zwei Verknüpfungen:

+ : Hom_K(V,W) × Hom_K(V,W) → Hom_K(V,W),   (f,g) ↦ f + g

· : K × Hom_K(V,W) → Hom_K(V,W),   (λ,f) ↦ λ · f,

wobei für alle v ∈ V gilt:

(f + g)(v) = f(v) + g(v)

(λ · f)(v) = λ · f(v).

a)

Zeige, das + und · wohldefiniert sind (was in diesem Fall bedeutet: sind verknüpfte Abbildungen der Form f + g bzw. λ · f linear?) und Hom_K(V,W) mit diesen Verknüpfungen ein K-Vektorraum ist.

b)

Es sei f ∈ Hom_K(V,W) bijektiv. Zeige, dass f^-1 ∈ Hom_K(V,W).

Comments

In der b) ist ein Tippfehler: $$f^{-1} ∈ Hom_K(W,V)$$ sollte es sein. Wo ist das Problem bei der Aufgabe? Das ist fast nur nachrechnen der Eigenschaften, was nervig zu tippen ist.

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Ist da echt ein Tippfehler? Die Aufgabe lautet wirklich so :). Ich verstehe die Aufgabe allgemein nicht leider :/, vor allem die a) nicht. Ein guter Ansatz würde mir genügen, oder die ersten zwei Schritte.

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Ein guter Ansatz würde mir genügen, oder die ersten zwei Schritte.

Stimmt das ?

 

Die ersten zwei Schritte sind

(f₁+f₂)(v₁+v₂)=f₁(v₁+v₂)+f₂(v₁+v₂)=(f₁(v₁)+f₁(v₂))+(f₂(v₁)+f₂(v₂))=...