Epimorphismus, Monomorphismus

Question

Seien V und W endlichdimensionale K-Vektorräume und sei φ ∈ Hom_K (V,W). Zeigen Sie:

1) Wenn φ ein Epimorphismus ist, dann gilt dim_K (V) ≤ dimK (W)

Möchte jemand mir die Lösung zu dieser Aufgabe verraten? Habe leider keine Ansätze die mich weiterbringen.

Answer 1

Wenn φ ein Epimorphismus ist, dann gilt dim_K (V) ≤ dimK (W)
da ist was falsch, das muss >= heißen


Vielleicht kennst du die Dimenionsformel für Homomorphismen
f: V ---> W

dim Kern(f)  +  dim Bild(f) =  dim V
wegen epimorph. ist bild(f)=W
also
dim Kern(f)  +  dim W =  dim V

da dim Kern(f) >= 0 ist also dim W <=  dim V.  q.e.d.