Berechne die Größe der Winkel im Dreieck ABC.

Question

Aufgabe:
Berechne die Größe der Winkel im Dreieck ABC.

a) β = 2 • α und γ = 5 • α

c) β = α + 25% und γ = α + 35%

e) β ist 50% von α und γ ist 30% von α

Problem/Ansatz:

Leider verstehe die Erklärungen meines Lehrers nicht
Vorwissen:
Winkelsumme des Dreiecks ist 180°

Answer 1

Hallo Proluci,

Willkommen in der Mathelounge!

Vorwissen:
Winkelsumme des Dreiecks ist 180°

Prima, dann schreibe ich das doch mal formal hin:$$\alpha + \beta + \gamma = 180°$$und nun für \(\beta\) und \(\gamma\) die Ausdrücke aus Aufgabenteil a) einsetzen:$$\begin{aligned}\alpha + \underbrace{2\alpha}_{=\beta} + \underbrace{5\alpha}_{=\gamma} &= 180° \\ 8\alpha &= 180° &&|\, \div 8 \\ \alpha &= 22,5°\end{aligned}$$Im Bild sieht das so aus:

alle rot markierten Winkel sind gleiche groß. \(\beta\) und \(\gamma\) kannst Du nun selber berechnen - oder?

c) β = α + 25% und γ = α + 35%

statt \(x+ 25%\) kann man auch schreiben: \(x \cdot \left( 1 + \frac{25}{100}\right) = x\cdot 1,25\). Folglich gilt hier:$$\begin{aligned}\alpha + \underbrace{(\alpha + 25\%)}_{ß} + \underbrace{(\alpha + 35\%)}_{\gamma} &= 180° \\ \alpha + 1,25 \alpha + 1,35\alpha &= 180°\\ 3,6\alpha &= 180° &&|\, \div 3,6 \\ \alpha &= 50° \\ \implies \beta &= 1,25 \cdot 50° = 62,5° \\ \gamma &= 1,35 \cdot 50° = 67,5°\end{aligned}$$

e) β ist 50% von α und γ ist 30% von α

"50% von etwas" ist die Hälfte - also: \(\beta = 0,5\alpha\) und "30% von etwas" sind \(30/100\)'stel von etwas - also \(\gamma = 30 \alpha / 100 = 0,3\alpha\). Wenn Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Comments

Danke erstmal für die schnelle Antwort. Wow.
1. Was ist das für ein "Zeichen" bei Aufgabenteil c), indem sie geschrieben haben statt "Zeichen" + 25 ...
2. Bei Aufgabenteil c) 1,25 sind beispielsweise 125 oder? und der griechische Buchstabe in welcher Beziehung steht der zu der Dezimalzahl (multiplikation, division...)

die anderen Dinge habe ich soweit verstanden, mal schauen ob da noch Fragen aufkommen.

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1. Was ist das für ein "Zeichen" bei Aufgabenteil c), indem sie geschrieben haben statt "Zeichen" + 25 ...

das ist ein \(x\) - der Buchstabe \(x\) wird im Allgemeinen als Platzhalter für eine 'beliebige' Zahl oder Größe verwendet. Hier könnte man für \(x\) das \(\alpha\) oder auch einen anderen Winkel einsetzen.

2. Bei Aufgabenteil c) 1,25 sind beispielsweise 125 oder?`

... sind \(125/100\). Das \(\%\) steht immer für den 100'sten Teil von etwas.

ich wollte erklären, was \(\alpha + 25%\) bedeutet. In diesem konkreten Fall sind \(100\%\) das \(\alpha\) und da kommen \(25\%\) hinzu. Wenn da steht \(\beta = \alpha + 25\%\), dann ist \(\beta\) \(125\%\) von \(\alpha\). Oder eben das \(1,25\)-fache.

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Ich bins nochmal, zwar spät aber habe doch noch eine Frage, könnten sie bei c) nochmal die Rechnung mit allen Rechenzeichen schreiben. Also nicht abgekürzt, sondern vollausgeschrieben.

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... könnten sie bei c) nochmal die Rechnung mit allen Rechenzeichen schreiben.

Ja - ich habe meine Antwort erweitert (s. Teil bei c)). Vorher stand dort noch ein Tippfehler. Statt \(\dots + 1,35 \gamma = 180°\) hätte es \(\dots + 1,35 \alpha= 180°\) heißen müssen.

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Noch eine letzte Frage die ich schonmal gefragt habe, aber irgendwie nicht verstanden habe, 1,35α. Wieder was heißt das Alpha dahinter? Tut mir leid, dass ich so oft frage.

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Noch eine letzte Frage die ich schonmal gefragt habe, aber irgendwie nicht verstanden habe, 1,35α. Wieder was heißt das Alpha dahinter?

Interessante Frage! Dazu ein Vergleich: wenn Du Äpfel auf dem Markt kaufst und darüber Buch führst, dann könnte man z.B. schreiben$$3A + 5A = 8A$$wobei das \(A\) für Apfel steht und Du zu der Menge von 3 Äpfeln die Menge von 5 Äpfeln hinzu addiert hast. Steng genommen steht da aber $$3 \cdot \underbrace{1A}_{\text{ein Apfel}} + 5 \cdot \underbrace{1A}_{\text{ein Apfel}} = 8 \cdot \underbrace{1A}_{\text{ein Apfel}} $$das schreibt man aber nicht so, sondern man schreibt das wie oben \(3A+5A=8A\). D.h. das Mal-Zeichen zwischen der Menge und der Einheit bzw. der Größe dahinter wird weg gelassen.

Somit steht \(1,35\alpha\) für \(1,35\) mal der Größe des Winkels \(\alpha\). Oder auch$$1,35 \alpha = 1,35 \cdot \alpha$$100% von \(\alpha\) sind \(1\cdot \alpha\) oder eben nur \(\alpha\). 35% von \(\alpha\) sind \(35/100\) von \(\alpha\) und$$\alpha + 35\% = 1\cdot \alpha + \frac{35}{100} \cdot \alpha = 1 \cdot \alpha + 0,35 \cdot \alpha = 1,35 \cdot \alpha = 1,35 \alpha$$

Tut mir leid, dass ich so oft frage.

Muss es nicht. Frage bitte weiter. Nur so lernst Du was!

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ok. Dankesehr.