Hallo,
WIllkommen in der Mathelounge!
Du kennst sicher die allgemeine Formel für die h-Methode, die die Steigung an einer bestimten Stelle \(x\) bestimmt:$$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$Deine Funktion ist \(f(x)=3x^2\) und die relevante Stelle ist \(x=1\). Das setze ich jetzt einfach ein:$$\begin{aligned}f'(x)&= \lim_{h \to 0} \frac{3(x+h)^2 - 3x^2}{h} \\ f'(1)&= \lim_{h \to 0} \frac{3(1+h)^2 - 3}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{3(1+2h + h^2) - 3}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{3+6h + 3h^2 - 3}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{6h + 3h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} 6 + 3h \\ &= 6 \end{aligned}$$und das ist schon alles. Und als Graph sieht das so aus:
~plot~ 3x^2;{1|3};6x-3;[[-3|4|-1|12]];3(x>1)+6(x>2) ~plot~
Die rote Gerade ist die Tangente an \(3x^2\) an der Stelle \((1|\,3)\). Mit der grünen Treppenfunktion habe ich versucht, das Steigungsdreieck zu skizzieren. Läuft man vom Punkt \((1|\,3)\) eine Einheit nach rechts und dann 6 Einheiten nach oben, so trifft man wieder auf die Gerade. Die Steigung der Geraden ist also \(=6\).
Achte bitte darauf, dass die Achsen im Plot unterschiedlich skaliert sind.
Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
