Durch Skizzen habe ich mir die Ungleichungen erklären können, aber wie kann ich mathematisch (rechnerisch) auf diese …

Question

Aufgabe:

Hallo,
Ich suche Beweise für die Lagebeziehungen zweier Kreise: (R1 und R2 sind die Radien; d ist der Abstand der Mittelpunkte)
Warum gilt r1+r2<d oder r1-r2>d wenn es keinen Schnittpunkt gibt
Warum gilt r1+r2=d oder r1-r2=d wenn es genau einen Schnittpunkt gibt
Warum gilt r1+r2>d und r-1-r2<d wenn es genau zwei Schnittpunkte gibt

Problem/Ansatz:

Durch Skizzen habe ich mir die Ungleichungen erklären können, aber wie kann ich mathematisch (rechnerisch) auf diese Ungleichungen kommen und wie kann ich zeigen, dass sie immer gelten?

Answer 1

Einer der Kreise hat die Gleichung

        \(x^2 + y^2 = r_1^2\)

Der andere Kreis hat die Gleichung

        \((x-d)^2 + y^2 = r_2^2\)

Beide Gleichungen nach \(y^2\) auflösen, gleichsetzen und nach \(x\) auflösen.

Comments

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lege ich die Lösungen mithilfe der Diskriminante fest?

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Genauer gesagt die Anzahl der Lösungen bestimmst du mittels der Diskriminante. Um diese Anzahl geht es ja in der Frage, nicht darum wo die Schnittpunkte genau liegen.

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Ich habe jetzt händisch nach x aufgelöst, allerdings fallen beide x² weg. und ich bekomme einen Bruch mit

x= (d² + r₁²  + r₂² )/(2d). Wie kann ich jetzt die Anzahl der Lösungen ermitteln?

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allerdings fallen beide x² weg

Das hätte ich mir eigentlich denken können. Auch wenn es zwei Schnittpunkte gibt, dann haben sie aufgrund der Wahl des Koordinatensystems die gleiche x-Koordinate.

x= (d² + r₁² + r₂² )/(2d)

Das müsste nach meinen Berechnungen

        \(x = \frac{d^2-r_1^2 + r_2^2}{2d}\)

lauten. Das kannst du in

      \(x^2 + y^2 = r_1^2\)

einsetzen um die Anzahl der Schnittpunkte zu bestimmen.

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Nach welcher Variable löse ich die Gleichung dann auf? Für mich ergibt weder y noch d Sinn.

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Nach \(y\).

\(x = \frac{d^2-r_1^2 + r_2^2}{2d}\)

Genauer gesagt bedeutet das: falls es Schnittpunkte gibt, dann haben alle Schnittpunkte die x-Koordinate \(\frac{d^2-r_1^2 + r_2^2}{2d}\).

Die Lösungen der Gleichung

        \(\left(\frac{d^2-r_1^2 + r_2^2}{2d}\right)^2 + y^2 = r_1^2\)nach \(y\)

sagen dir dann ob und welche y-Koordinaten zu der x-Koordinate passen, so dass (x | y) ein Schnittpunkt ist.

Answer 2

r₁+r₂<d wenn es keinen Schnittpunkt gibt
r₁+r₂=d wenn es genau einen Schnitt-(Berühr)punkt gibt

Für r₁+r₂>d gibt es nur dann zwei Schnittpunkte, wenn der kleine Kreis nicht vollständig im großen liegt.

Deine Zusätze mit den Differenzen r₁-r₂ sind unsinnig.