Gerade durch den Mittelpunkt eines Kreises; 2 Schnittpunkte; M ist dabei der Mittelpunkt von AB

Question

Aufgabe:

"Zeigen Sie, dass jede Gerade durch den Mittelpunkt eines Kreises k (M;r) mit dem Kreis genau zwei Punkte gemeinsam hat. M ist dabei der Mittelpunkt von AB." (AB ist eine Strecke, ich finde gerade leider nicht, wie ich den Strich über AB einfügen kann)

Problem/Ansatz:

Einen Kreis haben wir in der Vorlesung so definiert, dass er die Punktemenge aller Punkte ist, die den Abstand r (Radius) zu M (Mittelpunkt) haben.

Nun ist in der Aufgabe ja jeweils die Länge der Strecke l (AM) = r und l (BM) = r.

Daher müssen A und B auf dem Kreis liegen (da ja der Abstand zu M der Radius ist).

Aber das reicht doch nicht als Beweis, oder? Irgendwie müsste ich ja noch ausschließen, dass es noch mehrere Punkte auf dieser Strecke bzw. Gerade gibt, die ebenfalls auf dem Kreis liegen und den Abstand haben, oder?
Da weiß ich aber leider nicht, wie ich das am besten machen kann.

Answer 1

Du kannst es ja in ein Koordinatensystem legen mit M als 0-Punkt.

Dann haben die Punkte auf dem Kreis die Koordinaten x und y und

es gilt x^2 + y^2 = r^2     #  .

Die Geraden durch M sind entweder die y-Achse oder sie haben eine

Gleichung der Art  y = m*x  mit m∈ℝ.

Für die Punkte auf der y-Achse gilt x=0 also ergibt Einsetzen in #

                 y^2 = r^2 und das hat genau zwei Lösungen y=r und y=-r.

Also gibt es genau 2 Schnittpunkte A(0;r) und B(0;-r ) und deren

Mittelpunkt ist  P( 0 ;  (-r+r)/2 ) = P(0;0) also der Kreismittelpunkt.

Für y = m*x ergibt sich analog   x^2 + (mx)^2 = r^2

  ==>   (m^2 +1)*x^2 = r^2   und da m^2 + 1 nicht 0 ist

      ==>   x^2 = r^2 / ( 1+m^2 )

==>   x = √ (r^2 / ( 1+m^2 ))  v  x = -√ (r^2 / ( 1+m^2 ))

Und weil r^2 / ( 1+m^2 ) positiv ist ( Radius soll ja wohl nicht 0 sein )

sind das genau 2 verschiedenen Werte und die Schnittpunkte sind

A(  √ (r^2 / ( 1+m^2 ))  ;   m* √ (r^2 / ( 1+m^2 ))  und

B(  -√ (r^2 / ( 1+m^2 ))  ;  -m* √ (r^2 / ( 1+m^2 ))  .

Deren Mittelpunkt ist

P=(  ( -√ (r^2 / ( 1+m^2 )) +  √ (r^2 / ( 1+m^2 )) ) / 2    ;

                    ( -m√ (r^2 / ( 1+m^2 )) +  m√ (r^2 / ( 1+m^2 )) ) / 2 )

       = (0;0) also wieder der Kreismittelpunkt.

A(  √ (r^2 / ( 1+m^2 ))  ;  m* √ (r^2 / ( 1+m^2 ))

A(  √ (r^2 / ( 1+m^2 ))  ;  m* √ (r^2 / ( 1+m^2 ))