Bestimme die Gleichung des Kreises dessen Mittelpunkt auf der Geraden g: y = (1/2)x + (7/2) liegt und der durch die …

Question

Aufgabe:

Kreisgleichung gesucht
Bestimme die Gleichung des Kreises dessen Mittelpunkt auf der Geraden g: y = (1/2)x + (7/2)  liegt und der durch die Punkte A(-2 | 5) und B(-1 | -2) geht.

Jemand eine Idee wie man diese Aufgabe löst?

Answer 1

( y - (1(2)m+7/2) )² + ( x - m )² = r²

Die x_y Koordinaten der Punkte einsetzen gibt zwei Gleichungen

zur Berechnung  von m ( x-Wert des Mittelpunktes ) und r = Radius.

Comments

also formatiert wäre die gleichung so richtig ?
( y - ($\frac{1}{2}$)m + $\frac{7}{2}$)² + (x - m)² = r²

und die gleichungen mit den Koordinaten eingesetzt sähen so aus?

A)   ( (-2) - ($\frac{1}{2}$)m + $\frac{7}{2}$)² + (5 - m)² = r²

B)   ( (-1) - ($\frac{1}{2}$)m + $\frac{7}{2}$)² + ((-2) - m)² = r²

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also formatiert wäre die gleichung so richtig ?
( y - ($\frac{1}{2}$)m - $\frac{7}{2}$)2 + (x - m)2 = r2



und die gleichungen mit den Koordinaten eingesetzt ergeben

gleichgesetzt

5m² /4  +  15m/ 2   + 125/4 = 5m² /4  +  5m/ 2  + 25/4

Das gibt m=-5

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Der Mittelpunkt $M$ liegt auf der Geraden $y=\frac{x}{2}+\frac{7}{2}=\frac{x+7}{2}$. Sein Ortsvektor ist also:$$\vec m=\binom{x}{y}=\binom{x}{\frac{x+7}{2}}$$

Der Abstand der beiden gegebenen Punkte $A(-2|5)$ und $B(-1|-2)$ zum Mittelpunkt $M$ ist jeweils gleich dem Radius $r$ des Kreises:

$$r=\left\|\binom{x}{\frac{x+7}{2}}-\binom{-2}{5}\right\|=\left\|\binom{x+2}{\frac{x-3}{2}}\right\|\;;\;r=\left\|\binom{x}{\frac{x+7}{2}}-\binom{-1}{-2}\right\|=\left\|\binom{x+1}{\frac{x+11}{2}}\right\|$$$$r^2=(x+2)^2+\left(\frac{x-3}{2}\right)^2\quad;\quad r^2=(x+1)^2+\left(\frac{x+11}{2}\right)^2$$Wir setzen die beiden rechten Seiten gleich und lösen nach $x$ auf:

$$\left.(x+1)^2+\left(\frac{x+11}{2}\right)^2=(x+2)^2+\left(\frac{x-3}{2}\right)^2\quad\right|\text{umordnen}$$$$\left.\frac{1}{4}(x+11)^2-\frac{1}{4}(x-3)^2=(x+2)^2-(x+1)^2\quad\right|\text{binomische Formeln}$$$$\left.\frac{1}{4}\left(\,(x^2+22x+121)-(x^2-6x+9)\,\right)=(x^2+4x+4)-(x^2+2x+1)\quad\right.$$$$\left.\frac{1}{4}\left(28x+112\right)=2x+3\quad\right|\cdot4$$$$\left.28x+112=8x+12\quad\right|\text{umordnen}$$$$\left.20x=-100\quad\right|:\,20$$$$\underline{\underline{x=-5}}$$

Der Radius $r$ des Kreises ergibt sich daraus wie folgt:$$r^2=(x+2)^2+\left(\frac{x-3}{2}\right)^2=(-3)^2+\left(\frac{-8}{2}\right)^2=9+16=25\quad\implies\quad \underline{\underline{r=5}}$$

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei:$$\vec m=\binom{x}{\frac{x+7}{2}}=\binom{-5}{1}\quad\implies\quad \underline{\underline{M(-5|1)}}$$

Damit können wir die Kreisgleichung nun angeben:$$\boxed{(x+5)^2+(y-1)^2=5^2=25}$$

Answer 3

Bilde den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von AB mit g.

Das ist M, und r=|AM|

Answer 4

Hallo und herzlich willkommen in der Mathelounge,

Sind zwei Punkte eines Kreises gegeben, so liegt sein Mittelpunkt auf der Mittelsenkrechten der beiden Punkte.

Der Schnittpunkt der Senkrechten mit der gegebenen Gerade ist der Mittelpunkt des Kreises.

Stelle eine Geradengleichung aus den zwei Punkten auf mit der Steigung $m_1$ auf.

Den Mittelpunkt zwischen den beiden Punkten kannst du mit 0,5 · (A + B) berechnen.

Die Steigung der Senkrechten hat die Steigung $m_2=-\frac{1}{m_1}$.

Berechne anschließend den Schnittpunkt der beiden Geraden (= Mittelpunkt des Kreises) und stelle die Kreisgleichung auf.

Gruß, Silvia