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Aufgabe: Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist symmetrisch zur y-Achse, hat
einen Extrempunkt im Koordinatenursprung sowie an der Stelle = 1 einen Wendepunkt.


Problem/Ansatz: Berechnen Sie drei verschiedene Funktionsterme.



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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Eine ganzrationale Funktion vierten Grades:

f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e;a0f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\quad;\quad a\ne0

ist achsensysmmetrish zur yy-Achse. Das heißt, es muss f(x)=f(x)f(-x)=f(x) gelten, sodass alle ungeranden Potenzen von xx wegfallen, also ist b=0b=0 und d=0d=0:f(x)=ax4+cx2+ef(x)=ax^4+cx^2+eDie gesuchte hat einen Extrempunkt im Koordinatenursprung. Das heißt, sie muss insbesondere durch den Punkt (00)(0|0) verlaufen. Wegen f(0)=ef(0)=e muss also auch e=0e=0 sein:f(x)=ax4+cx2f(x)=ax^4+cx^2f(x)=4ax3+2cxf'(x)=4ax^3+2cxf(x)=12ax2+2cf''(x)=12ax^2+2cDie Extrempunktbedingung f(0)=0f'(0)=0 ist damit bereits automatisch erfüllt, wie man leicht nachrechnet.

Bei x=1x=1 hat die gesuchte einen Wengepunkt, daher muss gelten:0=!f(1)=12a+2c    2c=12a    c=6a0\stackrel!=f''(1)=12a+2c\implies2c=-12a\implies c=-6aDamit haben wir alle Bedingungen erfüllt, aber noch keine eindeutige Lösung:f(x)=ax46ax2=ax2(x26);a0f(x)=ax^4-6ax^2=ax^2(x^2-6)\quad;\quad a\ne0

Es bleibt ein Parameter aa übrig, der natürlich ungleich 00 sein muss, weil die ganzrationale Funktion sonst nicht den Grad 44 hätte. Diese Parameter können wir nun frei wählen und sollen das auch für 33 Fälle tun:

a=1     f1(x)=x46x2a=1\;\;\,\quad\Rightarrow\quad f_1(x)=x^4-6x^2a=1f2(x)=(x46x2)=x4+6x2a=-1\quad\Rightarrow\quad f_2(x)=-(x^4-6x^2)=-x^4+6x^2a=2     f3(x)=2x412x2a=2\;\;\,\quad\Rightarrow\quad f_3(x)=2x^4-12x^2

Wenn man das plottet, sieht man, wie "sexy" Mathe sein kann:

Plotlux öffnen

f1(x) = x4-6x2f2(x) = 2x4-12x2f3(x) = -x4+6x2Zoom: x(-3…3) y(-20…15)


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Danke für die schnelle Antwort :)

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Ansatz (wegen Symmetrie) f(x)=ax4+bx2+c f(0)=0 also c=0

f ''(x)=12ax2+2b f ''(1)=0 also 0=12a+2b oder b=-6a

fa(x)=ax4-6ax2

f1(x)=x4-6x2

f2(x)=2x4-12x2.    

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Auch Danke für die Antwort:)

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