Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Eine ganzrationale Funktion vierten Grades:
f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e;a=0
ist achsensysmmetrish zur y-Achse. Das heißt, es muss f(−x)=f(x) gelten, sodass alle ungeranden Potenzen von x wegfallen, also ist b=0 und d=0:f(x)=ax4+cx2+eDie gesuchte hat einen Extrempunkt im Koordinatenursprung. Das heißt, sie muss insbesondere durch den Punkt (0∣0) verlaufen. Wegen f(0)=e muss also auch e=0 sein:f(x)=ax4+cx2f′(x)=4ax3+2cxf′′(x)=12ax2+2cDie Extrempunktbedingung f′(0)=0 ist damit bereits automatisch erfüllt, wie man leicht nachrechnet.
Bei x=1 hat die gesuchte einen Wengepunkt, daher muss gelten:0=!f′′(1)=12a+2c⟹2c=−12a⟹c=−6aDamit haben wir alle Bedingungen erfüllt, aber noch keine eindeutige Lösung:f(x)=ax4−6ax2=ax2(x2−6);a=0
Es bleibt ein Parameter a übrig, der natürlich ungleich 0 sein muss, weil die ganzrationale Funktion sonst nicht den Grad 4 hätte. Diese Parameter können wir nun frei wählen und sollen das auch für 3 Fälle tun:
a=1⇒f1(x)=x4−6x2a=−1⇒f2(x)=−(x4−6x2)=−x4+6x2a=2⇒f3(x)=2x4−12x2
Wenn man das plottet, sieht man, wie "sexy" Mathe sein kann:
Plotlux öffnen f1(x) = x4-6x2f2(x) = 2x4-12x2f3(x) = -x4+6x2Zoom: x(-3…3) y(-20…15)