drei verschiedene Funktionsterme berechnen

Question

Aufgabe: Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist symmetrisch zur y-Achse, hat
einen Extrempunkt im Koordinatenursprung sowie an der Stelle = 1 einen Wendepunkt.

…

Problem/Ansatz: Berechnen Sie drei verschiedene Funktionsterme.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Eine ganzrationale Funktion vierten Grades:

$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\quad;\quad a\ne0$$

ist achsensysmmetrish zur $y$-Achse. Das heißt, es muss $f(-x)=f(x)$ gelten, sodass alle ungeranden Potenzen von $x$ wegfallen, also ist $b=0$ und $d=0$:$$f(x)=ax^4+cx^2+e$$Die gesuchte hat einen Extrempunkt im Koordinatenursprung. Das heißt, sie muss insbesondere durch den Punkt $(0|0)$ verlaufen. Wegen $f(0)=e$ muss also auch $e=0$ sein:$$f(x)=ax^4+cx^2$$$$f'(x)=4ax^3+2cx$$$$f''(x)=12ax^2+2c$$Die Extrempunktbedingung $f'(0)=0$ ist damit bereits automatisch erfüllt, wie man leicht nachrechnet.

Bei $x=1$ hat die gesuchte einen Wengepunkt, daher muss gelten:$$0\stackrel!=f''(1)=12a+2c\implies2c=-12a\implies c=-6a$$Damit haben wir alle Bedingungen erfüllt, aber noch keine eindeutige Lösung:$$f(x)=ax^4-6ax^2=ax^2(x^2-6)\quad;\quad a\ne0$$

Es bleibt ein Parameter $a$ übrig, der natürlich ungleich $0$ sein muss, weil die ganzrationale Funktion sonst nicht den Grad $4$ hätte. Diese Parameter können wir nun frei wählen und sollen das auch für $3$ Fälle tun:

$$a=1\;\;\,\quad\Rightarrow\quad f_1(x)=x^4-6x^2$$$$a=-1\quad\Rightarrow\quad f_2(x)=-(x^4-6x^2)=-x^4+6x^2$$$$a=2\;\;\,\quad\Rightarrow\quad f_3(x)=2x^4-12x^2$$

Wenn man das plottet, sieht man, wie "sexy" Mathe sein kann:

Plotlux öffnen

f₁(x) = x⁴-6x²f₂(x) = 2x⁴-12x²f₃(x) = -x⁴+6x²Zoom: x(-3…3) y(-20…15)

Comments

Danke für die schnelle Antwort :)

Answer 2

Ansatz (wegen Symmetrie) f(x)=ax⁴+bx²+c f(0)=0 also c=0

f ''(x)=12ax²+2b f ''(1)=0 also 0=12a+2b oder b=-6a

f_a(x)=ax⁴-6ax²

f₁(x)=x⁴-6x²

f₂(x)=2x⁴-12x².    

Comments

Auch Danke für die Antwort:)