Bestimmen sie das Taylor-Polynom kleinsten Grades n, mit maximaler Abweichung

Question

Aufgabe:

f(x) = sin(x)

Bestimmen sie das Taylor-Polynom kleinsten Grades n, welches die Sinusfunktion im Bereich 0 bis \( \frac{π}{2} \) mit einer maximalen Abweichung von 10^-14 approximiert.

Problem/Ansatz:

p_sin(x),0(x) = x - \( \frac{1}{3!} \)x³ + \( \frac{1}{5!} \) x⁵ - \( \frac{1}{7!} \) x⁷   + ....

Ableitungen von sin(x) -> sin(x), cos(x), -sin(x), -cos(x), sin(x),....

ξ ∈ [0, \( \frac{π}{2} \)]

f⁽⁰⁾(ξ) = sin(ξ) ≤ 1 = C , weil sin(x) und seine Ableitung maximal den Wert 1 annehmen können

f⁽¹⁾(ξ) = cos(ξ) ≤ 1

f⁽²⁾(ξ) = -sin(ξ) ≤ 1

f⁽³⁾(ξ) = -cos(ξ) ≤ 1

I f(ξ) - p_sin(x),0,n(ξ) I ≤ \( \frac{C}{(n+1)!} \) * (x-x₀)⁽ⁿ⁺¹⁾ , für alle ξ ∈ [0, \( \frac{π}{2} \)]  Wenn ich das richtig verstanden habe, kann ich mit dieser Formel und dem Taylor-Polynom von sin(x) ein n abschätzen für welches der Fehler < 10^-14  ist. Wie ist mir aber unklar, muss ich das n Raten?

\( \frac{C}{(n+1)!} \) * (x-x₀)⁽ⁿ⁺¹⁾  Das hier ist meines Wissens nach das Restglied also das n+1 Glied und C der Funktionswert der maximal auf dem gegeben Intervall angenommen werden kann.

I f(ξ) - p_sin(x),0,n(ξ) I ist die Abweichung der Werte des Taylor-Polynoms von den Werten der Ausgangsfunktion. Diese will ich < 10^-14  .

Jetzt ist mir das Vorgehen allerdings nicht so ganz klar, Rate ich jetzt einfach ein n?

Answer 1

Hallo, im Prinzip bist du fast fertig. Du musst deinen Fehler von \(x,x_0\) unabhängig machen, was hier durch oberes Abschätzen gelingt.

Du hast also

\(|f(\xi)-p(\xi)_{f,n,0}|\leq \frac{C}{(n+1)!}\cdot |x-x_0|^{n+1}\stackrel{x_0=0}{\leq} \frac{1}{(n+1)!}\cdot |x|^{n+1}\leq \frac{1}{(n+1)!}\left( \frac{\pi}{2}\right)^{n+1}\leq \frac{1}{2^n}\cdot \left( \frac{\pi}{2}\right)^{n+1}\).

Comments

Wie kommst du von \( \frac{1}{(n+1)!} \) auf \( \frac{1}{2^n} \).

Verstehe noch nicht ganz wie ich jetzt das richtige n finde.

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Es gilt \( \frac{1}{(n+1)!}\leq \frac{1}{2^n} \) für alle \(n\in \mathbb{N}_{\geq 0}\). Das kannst du per Induktion zeigen. Dann musst du nur die Ungleichung \(\frac{1}{2^n}\left(\frac{\pi}{2} \right)^{n+1}\leq 10^{-14}\) lösen. Du musst aber nicht so eine Abschätzung machen. Stattdessen kannst du diese Ungleichung \(\frac{1}{(n+1)!}\left(\frac{\pi}{2} \right)^{n+1}\leq 10^{-14}\) betrachten. Du musst aber hier schrittweise \(n\in \mathbb{N}_{\geq 0}\) durchprobieren.