Bestimmen Sie c und a. der Exponentialfunktion

Question

Aufgabe

Ich könnte diese Aufgabe nicht verstanden

Der Graph der Exponentialfunktion f mit der Funktionsgleichung f(x)=c·ax verläuftdurchP(2|48)undQ(−1|0,75).
Bestimmen Sie c und a.

Answer 1

Hallo,

Wenn eine Funktion \(f(x)\) durch einen Punkt \(P(2|\,48)\) läuft, so heißt dies, dass die Gleichung$$f(2)=48$$erfüllt ist. Somit muss hier gelten$$f(2) = c \cdot a^2 = 48 \\ f(-1) = c \cdot a^{-1} = 0,75$$dividiere beide Gleichungen durch einander, so erhält man
$$\begin{aligned}\frac{c \cdot a^2}{c \cdot a^{-1}} &= \frac{48}{0,75} \\ a^3 &= 64 \\ a &= 4\end{aligned}$$Einsetzen in eine der beiden Gleichungen liefert$$c \cdot 4^2 = 48 \implies c = \frac{48}{16} = 3$$Die Gleichung lautet also$$f(x) = 3 \cdot 4^x$$Der Graph zeigt das nochmal

~plot~ 3*4^x;{-1|0.75};{2|48};[[-4|4|-8|60]] ~plot~