Bestimme die Gleichung ganzrationalen Funktion möglichst niedrigen Grades, die die Entwicklung der Kosten K nach den …

Question

Aufgabe: Die Molkerei Meier hat die Rezeptur eines Joghurts mit der neuen Geschmacksrichtung „Apfelbeere" entwickelt. Für die Produktion dieses Joghurts geht die Molkerei von einem s- förmigen Kurvenverlauf der Kostenfunktion aus, die der Produktionsmenge x die Gesamtkosten y zuordnet. Die Fixkosten betragen 400 Geldeinheiten (GE). Außerdem ist bekannt, dass der Graph der Kostenfunktion einen Wendepunkt in (10|700) aufweist und die Wendetangente die Gleichung tw(x) = 20x + 500 hat. Die Kapazitätsgrenze für dieses Produkt liegt bei 50 Mengeneinheiten (ME). Eine Marktanalyse hat ergeben, dass das Produkt in dieser Menge vollständig verkauft werden kann. Bestimme die Gleichung ganzrationalen Funktion möglichst niedrigen Grades, die die Entwicklung der Kosten K nach den oben gemachten Angaben beschreibt. Gib den ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich an

Answer 1

Die Fixkosten betragen 400

K(0) = 400

Wendepunkt in (10|700)

K(10) = 700

K''(10) = 0

Wendetangente die Gleichung tw(x) = 20x + 500 hat.

K'(10) = tw'(10)

Bestimme die Gleichung ganzrationalen Funktion möglichst niedrigen Grades

Es sind vier Bedingungen vorhanden. Also werden in der ganzrationalen Funktion möglichst niedrigen Grades vier Parameter benötigt. Das it bei ganzrationalen Funktion vom Grad 3 der Fall:

        \(K(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\).

Formuliere damit die vier Bedingungen als Gleichungen mit den Unbekannten \(a,b,c,d\) und Löse das Gleichungssystem.

Answer 2

f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d mit

f(0)=400     ==>          d=400

f(10)=700  ==>  1000a+100b + 10c + 400 = 700

f ' ' (10)=0   ==> 60a + 2b = 0

f ' (10) = 20  ==>  300a + 20b + c = 20

gibt f(x)=0.1x^3 -3x^2 + 50x +400

etwa so ~plot~ 0.1x^3 -3x^2 + 50x +400 ;[[0|50|-500|5000]] ~plot~

Answer 3

K(x)=ax³+bx²+cx+d

K'(x)=3ax²+2bx+c

P(10|700) 700= (1) 1000a+100b+10c+d

P(0|400)            (2) d=400

K'(10)=20          (3) 300a+20b+c=20

K''(10)=0           (4) 60a+2b=0

Löse die System.