Welche Werte müssen die Parameter a,b und c annehmen, damit die Funktionen stetig sind?

Question

Aufgabe:

Welche Werte müssen die Parameter \(a,b,c\) annehmen, damit die Funktionen stetig sind?

\(f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)

a) \( f(x) := \frac{x^2-5x+6}{x-2} (1) = a (2) = bx+1 (3) \)

(1) x<2 | (2) x=2 | (3) x>2

b) \(g(x):= \frac{x^2-c^2}{x-c} (1) = 5 (2)\)

(1) \(x \ne c \) | (2) x=c

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung. Ich habe mal Fall (1) für f(x) zeichnen lassen und da kam eine linearer Funktionsgraph bei raus, obwohl bei x=2 eine Definitionslücke sein sollte. Dementsprechend habe ich keine Ahnung, welche Werte \(a, b\) annehmen müssen und bei g(x) habe ich gar keinen Ansatz.

Answer 1

obwohl bei x=2 eine Definitionslücke sein sollte.

Die ist da auch, siehst du aber im Graphen nicht, da quasi nur

ein Punkt fehlt.  Für x≠2 ist der Bruch gleich x-3.

also a=-1 und damit bx+1 stetig anschließt muss für

x = 2 bei bx+1 auch -1 rauskommen, also b=-1

bei b) bedenke x^2 - c^2 = (x+c)(x-c) dann kannst du kürzen

Comments

Danke erstmal für die Erklärung. Dann bleibt bei b) für x≠c, x+c stehen, aber inwiefern sagt das denn was über den Wert von c aus?

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Für x=c soll ja der Funktionswert 2 sein.

also muss für x gegen c auch der Grenzwert 2

sein. Und x+c hat für x gegen c den Grenzwert 2c,

also muss c = 1 sein.

Answer 2

und da kam eine linearer Funktionsgraph bei raus, obwohl bei x=2 eine Definitionslücke sein sollte

Das eine schließt doch das andere nicht aus. Es ist die lineare Funktion f(x)=x-3, die nur an der Stelle x=2 nicht definiert ist.

Damit sie an dieser Stelle stetig wird, muss an der Stelle 2 genau der Wert eingestzt werden, der in die Funktion f(x)=x-3 an die Stelle x=2 gehören würde.

Der Bruch \( \frac{x^2-c^2}{x-c} )\) lässt sich für alle x≠c mit (x-c) kürzen. (Dritte binomische Formel im Zähler anwenden!)

Comments

Wenn man den Bruch gekürzt hat, bleibt ja x+c übrig, aber inwiefern kann man aus diesem Ausdruck den Wert von c ableiten?

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Wenn man den Bruch gekürzt hat, bleibt ja x+c übrig,

Ja. Also handelt es sich bei der gekürzten Form um die lineare Funktion

y=x+c.

Die ist nur leider an der Stelle x=c nicht definiert. Wäre sie dort definiert, hätte sie dort (um stetig zu sein) den Funktionswert c+c.

Die Funktion muss also an der Stelle x=c mit dem Funktionswert c+c=2c ergänzt werden, um stetig zu sein.