Berechnen Sie die gesamte prozentuale Mieterhöhung für die 6 Jahre in den beiden Modellen (Die Prozentzahlen sind …

Question

Liebe Mathelounge

Leider verstehe ich folgende Aufgabe aus dem Bereich "geometrische, arithmetische Folgen" nicht. Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe behilflich sein?

Vielen Dank!

Die monatliche Miete einer Wohnung beträgt am 1. Januar 2000 600 Euro. Der Vermieter stellt für die nachfolgenden Jahre zwei Modelle der Mieterhöhung zur Wahl:

- 1. Mietvertrag: Die monatliche Miete wird am 1. Januar des Jahres um 3% erhöht

- 2. Mietvertrag: Die monatliche Miete wird am 1. Januar eines jeden Jahres um 19 Euro erhöht.

Eine Person (im folgenden Mieter genannt) zieht am 1. Januar in die Wohnung ein und beabsichtigt, 6 Jahre lang in dieser Wohnung zu bleiben.

1. Vergleichen Sie die monatlichen Mieten in en beiden Modellen nach 5 Jahren, d.h. am 1. Januar 2005.

2. Der Mieter entscheidet sich für den 2. Mietvertrag, nachdem er bis zum 1. Januar 2006 die gesamte prozentuale Mieterhöhung in den beiden Modellen verglichen hat. Berechnen Sie die gesamte prozentuale Mieterhöhung für die 6 Jahre in den beiden Modellen (Die Prozentzahlen sind auf 10^-2 genau anzugeben).

3. Für alle natürlichen Zahlen n bezeichne u_n bzw. v_n die jährliche Miete (in Euro) laut 1. Mietvertrag bzw. 2. Mietvertrag im Jahre (2000+n). Es ist also u₀ = v₀ = 7200.

a) Berechnen Sie u₁ und u₂.

b) Zeigen Sie, dass (u_n) eine geometrische Folge mit dem Quotienten 1,03 ist und drücken Sie u_n in Abhängigkeit von n aus.

c) Berechnen Sie v₁ und v₂.

d) Zeigen Sie, dass (v_n) eine arithmetische Folge mit der Differenz 228 ist und drücken Sie v_n in Abhängigkeit von n aus.

e) Berechnen Sie S₆=u₀+u₁+...+u₅ und T₆=v₀+v₁+...+v₅. Welcher Mietvertrag ist für den Mieter günstiger, wenn er -wie beabsichtigt- 6 Jahre lang in der Wohnung bleibt?

f) Welcher Mietvertrag ist für den Mieter günstiger, wenn er 10 Jahre lang in der Wohnung bleibt. Begründe Sie ihre Antwort.

Answer 1

Das eine ist eine geometrische, das andere eine arithmetische Folge, d.h. der 1. Vertrage funktioniert mit der Zinseszinsformel Kn=K0*q^n, wobei K0 die Anfangsmiete ist, Kn die Miete im n-ten Jahr, q die Steigerung pro Jahr als 1+p/100.

Die 2. Miete steigt jeweils um 19 €, ist also eine arithm. Folge mit der Vorschrift an=a1+d(Steigerung)*(n-1)