ich brauche Hilfe bei diesen Aufgaben.
Es wäre nett wenn mir der ein oder andere Experte helfen könnte :))
Lieben Dank im Voraus !!
Aufgabe:
Bei Potenzfunktionen \( \operatorname{pot}(x)=x^{n} \) ist die Basis die Funktionsvariable \( x \) und bei Exponentialfunktionen \( \exp (x)=b^{x} \) der Exponent. Was für eine Funktion ist aber \( f(x)=x^{x}\) ?
a) Begründen Sie, dass f nur für \( x>0 \) definiert ist. Füllen Sie die Tabelle aus und verschaffen Sie sich ohne GTR einen Überblick über den Graphen.
Tabelle:
x 1/4 | 1/2 | 1 | 2 | 5
f(x) ? | ? | ? | ? | ?
b)
- Begründen Sie, dass für die Ableitung keine Regel zur Verfügung steht.
- Zeigen Sie, dass gilt: \( x^{x}=e^{x \cdot \ln (x)} \). Bestimmen Sie damit die Ableitung von \( f \) und den Extrempunkt.
- Zeigen Sie, dass \( f \) überall linksgekrümmt ist.
- Untersuchen Sie \( f(x) \) und \( f^{\prime}(x) \) für \( x \rightarrow 0 \) Begründen Sie anschaulich, dass f für \( x \rightarrow \infty \) stärker als Exponentialfunktionen
wächst.
