Hilfe lineare Abbildung

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) eine lineare Abbildung. Es gelte
$$ f\left(\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right), \quad f\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right) . \quad f\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right) $$
Untersuchen Sie, ob
$$ f\left(\begin{array}{c} -2 \\ -6 \\ 7 \\ 1 \end{array}\right) $$
berechnet werden kann und bestimmen Sie gegebenenfalls das Ergebnis.

Problem/Ansatz:

Ich denken, das es nicht möglich ist \(f((-2, -6, 7, 1)^T)\), da die Abbildung \(f\) ja von \(\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) und nicht von \(\mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3\).

Jedoch verwirrt mich, dass bei \(f\) immer ein 4-dimensionaler Vektor eingesetzt wird

Answer 1

Aloha :)

Die Abbildung geht offensichtlich von \(\mathbb R^4\) nach \(\mathbb R^3\). Wenn du die drei einzelnen Gleichungen in eine Matrix-Gleichung überführst:

$$F\cdot\begin{pmatrix}1 & -2 & 1\\-3 & -1 & -1\\3 & 2 & 0\\1 & -2 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 1 & 1\\0 & 2 & 2\\-1 & -2 & -2\end{pmatrix}$$

stellst du fest, dass du diese Gleichung nicht eindeutig nach \(F\) umstellen kannst, weil es keine Inverse zu der \(4\times3\)-Matrix gibt. Wir haben also zu wenig Informationen, um die Abbidlungsmatrix \(F\) direkt zu bestimmen.

Allerdings wissen wir, dass die Abbildung linear ist und es gilt:$$\begin{pmatrix}-2\\-6\\7\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\\3\\1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\4\end{pmatrix}$$

Daher ist:$$f\begin{pmatrix}-2\\-6\\7\\1\end{pmatrix}=f\begin{pmatrix}1\\-3\\3\\1\end{pmatrix}+2f\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\\-2\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\6\\-7\end{pmatrix}$$