Warum wird beim Induktionsschritt das Vorzeichen gewechselt?

Question

Aufgabe:

Warum wird beim Induktionsschritt das Vorzeichen gewechselt ?

Problem/Ansatz:

ich soll folgende Aussage mit vollständiger Induktion beweisen:

Summe mit Laufvariable i=1 und Endwert n mit 1/i(i+1) = 1 - 1/n+1 für alle n der natürlichen Zahlen

Den Induktionsanfang überspringe ich.

Induktionsschritt:

Summe mit Laufvariable i=1 und Endwert n+1 mit 1/i(i+1)

= (Summe mit Laufvariable i=1 und Endwert n mit 1/i(i+1))  + 1/(n+1)(n+2)

= 1 - 1/n+1 + 1/(n+1)(n+2)

Und jetzt der Schritt, den ich nicht verstehe:

= 1 - ((n+2) - 1)/(n+1)(n+2)

Wenn man mit (n+2) multipliziert und beide Brüche summiert, müsste nicht eigentlich

dann (n+2) + 1 im Zähler stehen ?

Danke.

Answer 1

Hallo,

falls du das meinst:

 $$=1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\\=1-\frac{n+2}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\\=1+\frac{-(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}\\=1-\frac{(n+2)-1}{(n+1)(n+2)}$$

Du musst darauf achten, dass das Minuszeichen mit in den Bruch gezogen werden muss, wenn du die beiden Brüche addierst.

Alternativ kannst du auch ein -1 vorher ausklammern.

Gruß

Smitty

Comments

Ich habe es geahnt, war mir aber nicht sicher.

Danke !

---

Kein Problem