Stammfunktion (x²+2x) ÷ x⁵, x(x+1)÷x⁴ und (6x²-21x)÷3x⁷

Question

Aufgabe:

Bilden Sie die Stammfunktion von

f) (x²+ 2x)÷ x^5

g) x(x+1) ÷ x^4

h) (6x²-21x)÷ 3x⁷

Problem/Ansatz:

Ich versteh einfach nicht wie ich mit den Klammern arbeiten soll....

Answer 1

Klammern auflösen und dividieren:

f) = x-^3 +2*x^-4

g) = x^-2+x^-3

h) = 2x^-5 -7x^-6

Wende nun die Formel an: f(x) = x^n -> F(x) = x^(n+1)/(n+1)

Answer 2

Aloha :)

$$\int\frac{x^2+2x}{x^5}\,dx=\int\left(\frac{x^2}{x^5}+\frac{2x}{x^5}\right)\,dx=\int\left(x^{-3}+2x^{-4}\right)\,dx=\frac{x^{-2}}{-2}+\frac{2x^{-3}}{-3}+c$$$$\phantom{\int\frac{x^2+2x}{x^5}\,dx}=\frac{-3x}{6x^3}+\frac{-4}{6x^3}+c=-\frac{3x+4}{6x^2}+c$$

$$\int\frac{x(x+1)}{x^4}\,dx=\int\left(\frac{x^2}{x^4}+\frac{x}{x^4}\right)\,dx=\int\left(x^{-2}+x^{-3}\right)\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}+\frac{x^{-2}}{-2}+c$$$$\phantom{\int\frac{x(x+1)}{x^4}\,dx}=\frac{-2x}{2x^2}+\frac{-1}{2x^2}+c=-\frac{2x+1}{2x^2}+c$$

$$\int\frac{6x^2-21x}{3x^7}\,dx=\int\left(\frac{6x^2}{3x^7}-\frac{21x}{3x^7}\right)\,dx=\int\left(2x^{-5}+7x^{-6}\right)\,dx=\frac{2x^{-4}}{-4}+\frac{7x^{-5}}{-5}+c$$$$\phantom{\int\frac{6x^2-21x}{3x^7}\,dx}=\frac{-10x}{20x^5}+\frac{-28}{20x^5}+c=-\frac{10x+28}{20x^5}+c=-\frac{5x+14}{10x^5}+c$$