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Aufgabe:

Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen von x^4 + tx - x² = 0 in Abhängigkeit von t.


Problem/Ansatz:

Also mein Ansatz war, dass ich die Gleichung in die Produktform schreibe:

x² * (x² + tx - 1) = 0

und daraus meine Lösungen mit der ABC-Formel löse. Nur weiss ich nicht wie ich das rechnen soll, da mich das t irritiert.

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Sollte es vielleicht x4 + tx3 - x2 = 0 heißen?

Ups, mein Fehler, ja sollte es. Ich korrigier es mal.

Edit:

scheint wohl nicht so zu sein, dass ich ändern kann, aber ja es sollte x^4 + tx³ - x² = 0 sein.

3 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Bevor wir uns die Nullstellen des Terms überlegen, formen wir ihn etwas um:$$f(x)=x^4+tx^3-x^2=x^2\left(x^2+tx-1\right)=x^2\left(\,\left(x^2+tx+\pink{\frac{t^2}{4}}\right)\pink{-\frac{t^2}{4}}-1\right)$$Wir haben hier eine sogenannte "nahrhafte Null" ergänzt, indem wir \(\pink{\frac{t^2}{4}}\) addiert und direkt wieder subtrahiert haben. Dieser Term \(\pink{\frac{t^2}{4}}\) ist nämlich die quadratische Ergänzung zu \((x^2+tx)\), sodass wir die innere Klammer mit HIlfe der ersten binomischen Formel als Quadrat schreiben können:$$f(x)=x^2\left(\,\left(x+\frac t2\right)^2-\frac{t^2}{4}-1\right)=\red{x^2}\left(\,\green{\left(x+\frac t2\right)^2}-\blue{\left(\frac{t^2}{4}+1\right)}\right)$$

Die Funktion \(f(x)\) wird genau dann zu Null, wenn mindestens ein Faktor zu Null wird. Das ist offensichtlich für \(x=0\) der Fall, well dann der Faktor \(\red{x^2}\) zu Null wird. Damit liegt bei \(x=0\) eine Nullstelle.

Weiter Nullstellen liegen dort, wo die große Klammer gleich Null wird:$$\green{\left(x+\frac t2\right)^2}=\blue{\left(\frac{t^2}{4}+1\right)}\quad\bigg|\sqrt{\cdots}$$$$x+\frac t2=\pm\sqrt{\frac{t^2}{4}+1}\quad\bigg|-\frac t2$$$$x=-\frac t2\pm\sqrt{\frac{t^2}{4}+1}$$Da die Wurzel stets \(\ge1\) ist, also nie verschwindet, erhalten wir für alle Werte von \(t\) zwei weitere Lösungen. Insgesamt haben wir also drei Nullstellen gefunden:$$x=0\quad;\quad x=-\frac t2\pm\sqrt{\frac{t^2}{4}+1}$$Die Anzahl der Lösungen ist unabhängig vom Wert \(t\).

Avatar von 152 k 🚀

Wow, danke für die ausführliche Antwort. Ich glaub ich habs jetzt besser verstanden.

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Wegen \(x^4+tx^3-x^2=x^2(x^2+tx-1)\) ist \(x=0\) eine doppelte Nullstelle,

die aber nicht Nullstelle von \(x^2+tx-1\) ist.

Die Anzahl der Nullstellen von \(x^2+tx-1\)

hängt von der Diskriminante \(D\) dieses Terms ab.

Es ist \(D=p^2-4q=t^2+4>0\). Also gibt es 2 Nullstellen \(x\neq 0\),

insgesamt also 3 Nullstellen, egal welchen Wert \(t\) hat.

Avatar von 29 k
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Hallo,

dein Ansatz ist richtig.

\(f_t(x)=x^4+tx^3-x^2\\ x^2\cdot(x^2+tx-1)=0\\\)

Für den Term in der Klammer gilt dann

\(x_{2,3}=-0,5t\pm\sqrt{0,25t^2+1}\)

Also sind die Nullstellen

\(x_1=0\quad x_2=-0,5t+\sqrt{0,25t^2+1}\quad x_3=-0,5t-\sqrt{0,25t^2+1}\)

Gruß, Silvia

Avatar von 40 k

Hey, danke für die Antwort. Ich verstehe bloß nicht wie man auf die -0,5t kommt bzw die 0,25t. Ich hatte das Thema noch nie.

Kennst du die pq-Formel nicht, nur die ABC-Formel?

Oder hast du es dank Tschakas Antwort verstanden?

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