Aloha :)
Bevor wir uns die Nullstellen des Terms überlegen, formen wir ihn etwas um:$$f(x)=x^4+tx^3-x^2=x^2\left(x^2+tx-1\right)=x^2\left(\,\left(x^2+tx+\pink{\frac{t^2}{4}}\right)\pink{-\frac{t^2}{4}}-1\right)$$Wir haben hier eine sogenannte "nahrhafte Null" ergänzt, indem wir \(\pink{\frac{t^2}{4}}\) addiert und direkt wieder subtrahiert haben. Dieser Term \(\pink{\frac{t^2}{4}}\) ist nämlich die quadratische Ergänzung zu \((x^2+tx)\), sodass wir die innere Klammer mit HIlfe der ersten binomischen Formel als Quadrat schreiben können:$$f(x)=x^2\left(\,\left(x+\frac t2\right)^2-\frac{t^2}{4}-1\right)=\red{x^2}\left(\,\green{\left(x+\frac t2\right)^2}-\blue{\left(\frac{t^2}{4}+1\right)}\right)$$
Die Funktion \(f(x)\) wird genau dann zu Null, wenn mindestens ein Faktor zu Null wird. Das ist offensichtlich für \(x=0\) der Fall, well dann der Faktor \(\red{x^2}\) zu Null wird. Damit liegt bei \(x=0\) eine Nullstelle.
Weiter Nullstellen liegen dort, wo die große Klammer gleich Null wird:$$\green{\left(x+\frac t2\right)^2}=\blue{\left(\frac{t^2}{4}+1\right)}\quad\bigg|\sqrt{\cdots}$$$$x+\frac t2=\pm\sqrt{\frac{t^2}{4}+1}\quad\bigg|-\frac t2$$$$x=-\frac t2\pm\sqrt{\frac{t^2}{4}+1}$$Da die Wurzel stets \(\ge1\) ist, also nie verschwindet, erhalten wir für alle Werte von \(t\) zwei weitere Lösungen. Insgesamt haben wir also drei Nullstellen gefunden:$$x=0\quad;\quad x=-\frac t2\pm\sqrt{\frac{t^2}{4}+1}$$Die Anzahl der Lösungen ist unabhängig vom Wert \(t\).
