Polynomdivision: In Abhängigkeit von n Quotient und Rest der Polynomdivision bestimmen.

Question

Bestimme in Abhängigkeit von \( n \) Quotient und Rest der Polynomdivision \( \left(1-(-X)^{3 n}\right):\left(X^{2}-X+1\right) \), d.h.: Bestimme zu jedem \( n \in \mathbb{N} \) Polynome \( q_{n}, r_{n} \in \mathbb{Q}[X] \) so, dass \( \operatorname{deg}\left(r_{n}\right)<2 \) und \( \left(1-(-X)^{3 n}\right)=\left(X^{2}-X+1\right) q_{n}(x)+r_{n} \).

Beweise deine Antwort.

Comments

Schreibe zu Beginn:

(-(-x)^{3n} ..........................+1):(x^2 - x + 1) =  -(-x)^{3n-2} - (-x)^{3n-3} ....

-[ -(-x)^{3n} + (-x)^{3n - 1}  - (-x)^{3n-2} ]

------------------------------------------------------

-(-x)^{3n-1} + (-x)^{3n-2}

.....

usw.

Auf einem Blatt wird das übersichtlicher.