Polynomdivision mit Rest?

Question

Aufgabe:

Berechnen sie den Rest (p(x) mod q(x)) der Division der beiden Polynome p(x), q(x) mit p(x) = x^8 + 4x^7 + 3x^6+ 5x^5 + 4x^4 + 5x^3 +5x^2 + x + 4 und q(x) = x^4 +3, wobei p(x), q(x) Polynome über dem Körper Z Basis 7 sind. Geben sie dabei auch wieder den Rechenweg an. Welchen Grad hat das resultierende Polynom

Problem/Ansatz:

In der Musterlösung kommt 6x^2 +1 aus und Grad 2. Ich bekomme immer ein komplett anderes Ergebnis. Wie gehe ich richtig vor ?

Comments

Wie sieht dein Rechenweg aus?

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Kommt der Exponent 8 in einem Körper Z zur Basis 7 überhaupt vor?

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Das braucht er nicht. Es ist

        \(x^8 = x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\)

unabhängig davon, aus welcher algebraischen Struktur \(x\) kommt.

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In der Musterlösung kommt 6x² +1 raus

Hmm! - ich habe \(3x^2+1\) ?

Answer 1

Die herkömmliche Polynomdivision ergibt den Rest

\(-7 x^3 - 4 x^2 - 14 x + 1 \equiv_7 0\cdot x^3 +3x^2 -0\cdot x + 1\equiv_7 3x^2+1\)

Hier ein Link zur Polynomdivision.