Dreiseitigen Pyramide, Vektoren

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte A (-1|3 |5), B (2|5|5), C (4|3|2) und D (10 |-6 | 12).
Zeigen Sie, dass die Punkte A, B, C und D die Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide sind.
Bestimmen Sie das Volumen und den Oberflächeninhalt der Pyramide.

Answer 1

Zeigen Sie, dass die Punkte A, B, C und D die Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide sind.

Stelle die Gleichung der Ebene auf, in der A, B und C liegen.

Untersuche, ob D in dieser Ebene liegt, Falls nein, ist es eine Pyramide.

Für den Oberflächeninhalt: Berechne einfach einzeln die 4 Dreieecksflächen.

Es macht keinen Sinn, dir dafür eine Lösung zu geben, weil du diese nur in Abhängigkeit bestehender Kenntnisse verstehen kannst. Berechnet ihr Dreieecksflächen unter Verwendung des Vektorprodukts?

Berechnet ihr den Abstand Punkt-Ebene über die Hessesche Normalenform? Dann hättest du mit dem Vektorprodukt schon mal einen Normalenvektor.

Habt ihr das Spatprodukt gehabt? Das vereinfacht die Volumenberechnung noch weiter.

Answer 2

Hier findest du Beispiele:

https://de.serlo.org/mathe/2099/volumenberechnung-in-der-analytischen-geometrie

Answer 3

Richtungsvektoren aufstellen

AB = [3, 2, 0]
AC = [5, 0, -3]
AD = [11, -9, 7]

BC = [2, -2, -3]
BD = [8, -11, 7]

Volumen berechnen

V = 1/6·|[3, 2, 0] ⨯ [5, 0, -3])·[11, -9, 7]| = 36.17 VE

Oberfläche berechnen

O = 1/2·( |[3, 2, 0] ⨯ [5, 0, -3]| + |[3, 2, 0] ⨯ [11, -9, 7]| + |[5, 0, -3] ⨯ [11, -9, 7]| + |[2, -2, -3] ⨯ [8, -11, 7]| ) = 108.2 FE