Aloha :)
zu a) Hier kannst du \(2x^3\) ausklammern. Ein Produkt ist nämlich genau dann \(=0\), wenn mindestens ein Faktor \(=0\) ist.$$0\stackrel!=f_a(x)=2x^3-6x^2=2x^2(x-3)$$Der Faktor \(2x^2\) ist \(=0\), wenn \(x=0\) ist und der Faktor \(x-3\) ist \(=0\), wenn \(x=3\) ist. Die beiden Nullstellen sind also:$$x_1=0\quad;\quad x_2=3$$
~plot~ 2x^3-6x^2 ; [[-1|4|-10|10]] ~plot~
zu b) Hier kannst du zuerst \((-x)\) ausklammern:$$0\stackrel!=f_b(x)=-x^3-6x^2+3x=-x(x^2+6x-3)$$Wenn der Faktor \(x\) gleich \(0\) ist, wird die Funktion gleich \(0\). Damit haben wir schon mal eine Nullstelle gefunden. Bei den Nullstellen der Klammer hilft uns die pq-Formel weiter:$$x_{1;2}=-\frac{6}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2-(-3)}=-3\pm\sqrt{12}=-3\pm\sqrt{4\cdot3}=-3\pm2\sqrt3$$Damit haben wir drei Nullstellen gefunden:$$x_1=-3-2\sqrt3\approx-6,46\quad;\quad x_2=-3+2\sqrt3\approx0,46\quad;\quad x_3=0$$
~plot~ -x^3-6x^2+3x ; [[-7|2|-45|2]] ~plot~
zu c) Hier kannst du \(\frac{1}{3}x^3\) ausklammern:$$0\stackrel!=f_c(x)=\frac{1}{3}x^5+2x^3=\frac{1}{3}x^3\left(x^2+6\right)$$Der erste Faktor \(\frac{1}{3}x^3\) wird zu Null, falls \(x=0\) ist. Der zweite Faktor \((x^2+6)\) wird niemals zu Null, weil \(x^2\) als Quadratzahl nie negativ sein kann und daher \((x^2+6)\ge6\) gilt. Wir haben hier also nur eine Nullstelle:$$x_1=0$$
~plot~ 1/3*x^5+2x^3 ; [[-1|1|-2|2]] ~plot~
