Aloha :)
Ein Integral mit so einem Nenner duftet stark nach der \(\arctan\)-Funktion. Über die kommt bestimmt \(\pi\) ins Spiel. Weiter fällt sofort auf, dass der Integrand für \(x=0\) und \(x=1\) null ist, aber für alle anderen \(x\)-Werte dazwischen positiv ist. Daher ist das gesamte Integral positiv. Damit haben wir eine Ungleichung.
Langer Rede kurzer Sinn, am einfachsten rechnen wir das Integral aus:
$$0<\int\limits_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx=\int\limits_0^1\frac{x^4(1-4x+6x^2-4x^3+x^4)}{1+x^2}\,dx$$
Statt einer Polynomdivision werfen wir einen genaueren Blick auf den Zähler: $$\phantom{=}x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4$$$$=x^8+6x^6-4x^7-4x^5+x^4$$$$=(x^8+x^6)+5x^6-(4x^7+4x^5)+\underbrace{5x^4-4x^4}_{=x^4}$$$$=(x^8+x^6)+(5x^6+5x^4)-(4x^7+4x^5)-4x^4\,\underbrace{-4x^2+4x^2}_{=0}\,+\,\underbrace{4-4}_{=0}$$$$=(x^8+x^6)+(5x^6+5x^4)-(4x^7+4x^5)-(4x^4+4x^2)+(4x^2+4)-4$$$$=x^6(x^2+1)+5x^4(x^2+1)-4x^5(x^2+1)-4x^2(x^2+1)+4(x^2+1)-4$$
Damit wird unsere Integral-Ungleichung zu:$$0<\int\limits_0^1\left(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}\right)\,dx$$$$0<\left[\frac{x^7}{7}-\frac{2}{3}x^6+x^5-\frac{4}{3}x^3+4x-4\arctan(x)\right]_0^1$$$$0<\frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4-4\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{3-14+21-28+84}{21}-\pi=\frac{66}{21}-\pi$$$$\pi<\frac{22}{7}$$
