Eine Exponentialfunktion schneidet eine lineare Funktion - Wie zeige ich das analytisch?

Question

Aufgabe:

Die Funktion \(y = b^x\) schneidet die Funktion \(y = x+1.\)

Intuitiv sehe ich, dass beide Funktionen durch den Punkt P(0,1) gehen.

Problem/Ansatz:

Wie zeiche ich das analytisch?

Ich setze gleich:

\(b^x = x+1 \) / ln(..)

\( ln(b^x) = ln(x+1) \) / ln(a^x) = x*ln(a)

\( x*ln(b) = ln(x+1) \)

Hier scheitere ich, denn ich brauche ja auch das x, das auf der rechten Seite steht.

Zweiter Versuch:

\(b^x = x+1 \) / -1

\(b^x - 1 = x \) / ln(...)

\(ln(b^x-1) = x \)

Das schlägt auch fehl weil ich nicht weiss, wie ich weiter machen soll.

Comments

Du kannst x analytisch nicht ermitteln.

Hier geht nur ein Näherungsverfahren oder die grafische Lösung.

Doch hier kann man die Lösung sehen, wie du erkannt hast. :)

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Das Problem ist, dass es einen zweiten Teil dieser Aufgabe gibt.

a) Die Kurve \(y=b^x\) soll die Gerade \(y=x+1\) ausser im Punkt \(P(0,1)\) auch noch im Punkt \(Q(\frac{1}{n}, 1+\frac{1}{n})\) schneiden.

Berechnen sie \(b\) in Abhängigkeit von \(n\).

Weisst du, wie ich an das hier komme ?

Ist hier überhaupt eine analytische Lösung möglich ?

Answer 1

dass beide Funktionen durch den Punkt P(0,1) gehen.

Wenn du schon eine zutreffende Vermutung hast, wo sich die Funktionen schneiden, dann brauchst du nicht durch Gleichseetzen nach Schnittpunkten zu suchen.

Einsetzen von \(x = 0\) in beide Funtkionen ergibt

       \(b^0 = 1\)

und

        \(0 + 1 = 1\),

also schneiden sich die Graphen im Punkt \((0|1)\).

Ob es einen weiteren Schnittpunkt gibt, hängt von \(b\) ab.

Comments

Vielen Dank

Der weitere Schnittpunkt ist \(Q(\frac{1}{n},1+\frac{1}{n})\)

Kann ich das analytisch zeigen ?

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Idee:

Zuerst soll y = x+1 durch den Punkt Q gehen. Danach möchte ich es mit der Gleichung y = b^x gleichsetzen.

Problem:

n = 0 und das ist undefiniert.

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Die Kurve \(y=b^x\) soll die Gerade \(y=x+1\) ausser im Punkt \(P(0,1)\) auch noch im Punkt \(Q(\frac{1}{n}, 1+\frac{1}{n})\) schneiden.

Das ist genau das gleiche wie in meiner Antwort. Du hast eine zutreffende Vermutung, wo sich die Funktionen schneiden.

Also einsetzen. Das ergibt einerseits

        \(y = b^{\frac{1}{n}}\)

und andererseits

        \(y = 1 + \frac{1}{n}\).

Jetzt gleichsetzen:

        \(b^{\frac{1}{n}} = 1+\frac{1}{n}\).

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Zweiter Versuch; 

Ich habe angenommen, dass in beiden Funktionen der y-Wert gleich ist, wenn sie durch den Punkt x=1/2 gehen.

Deswegen darf ich sie gleichsetzen.

Nun kann ich herausfinden, wie das n gewählt werden muss.

Führt aber wieder auf ein Problem, dass ich nicht auflösen kann.

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Nun kann ich herausfinden, wie das n gewählt werden muss.

In der Aufgabenstellung steht aber

        "Berechnen sie \(b\)"

und nicht

      "Berechnen sie \(n\)".

Answer 2

Jede Funktion f(x)=b^x geht durch (0|1), weil b⁰=1.

Auch y=x+1 geht durch (0|1).

Dann ist (0|1) ein Schnittpunkt.