Darstellungsmatrix in Jordan'scher Normalform

Question

Aufgabe:

φ: ℂ[t]_≤d → ℂ[t]≤d

p ↦ p(t+1)

Dafür soll ich die Darstellungsmatrix in Jordan#scher Normalform bestimmen.

Problem/Ansatz:

Mein Problem besteht schon beim erstellen der Darstellungsmatrix bzw, der Bildungsvorschrift. Ich habe die Standardbasen gewählt (1, t, t^2,.... t^d)

Jetzt wenn ich einsetze, kommt hier φ(1)=2, φ(t)=t+1, φ(t^2)=t^2+1, ....

oder

φ(1)=2, φ(t)=t+1, φ(t^2)=(t+1)^2

oder doch was ganz anderes?

Answer 1

Die zweite Idee ist die richtige .

Allerdings  φ(1)=1

Comments

Für d ist ungerade

1	1	1	1	1	1	...	1
0	1	2	3	4	5	...	d
0	0	1	3	6	10	...
0	0	0	1	4	10	...
0	0	0	0	1	5	...
0	0	0	0	0	1	...
...	...	...	...	...	...	...	...
0	0	0	0	0	0	0	1

Für d ist gerade

1	1	1	1	1	1	1	,,,	1
0	1	2	3	4	5	6	...	d
0	0	1	3	6	10	15	...
0	0	0	1	4	10	20	...
0	0	0	0	1	5	15	...
0	0	0	0	0	1	6	...
0	0	0	0	0	0	1	...
...	...	...	...	...	...	...	...	...
0	0	0	0	0	0	0	0	1

Ich komm da nicht ganz auf die Darstellungsmatrix. Die Richtung müsste passen, jedoch weiß ich nicht wie ich die d-te Spalte darstelle. Nach meiner Beobachtung macht es einen Unterschied, ob d gerade oder ungerade ist.

Weiteres zu den Jordan-Blöcken wäre bei allen J(x,y) x=1 und die nebendiagonale ist immer unterschiedlich, also gibt es d-1 Jordanblöcke?

Answer 2

Hallo,

wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist die gesuchte Basis \((p_0,p_1, \ldots p_d)\) mit:

$$p_0(t):=1 \text{ und sonst } p_i(t):=\frac{1}{i!} \Pi_{k=1}^i(t+1-k)$$

Dann gilt:

$$\phi(p_0)=p_0 \text{   und  }\phi(p_i)=p_i+p_{i-1}$$

Das heißt, \(p_0\) spannt den Eigenraum zum Eigenwert 1 auf und man erhält nur einen einzigen Jordanblock.

Musst Du nochmal nachrechnen!

Gruß