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Hallo ihr lieben Helfer,

Ich soll alle Lösungen der Gleichung

\((x^2-7x+11)^{x^2-13x+42}=1\)

angeben. Wie löst man so was nach x auf, geht das nur numerisch?

Danke für jede Hilfe

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Aloha :)

Wir unterscheiden drei Fälle zur Lösung der Gleichung$$(x^2-7x+11)^{x^2-13x+42}=1$$

1. Fall: \(1^a=1\)$$x^2-7x+11=1\implies x^2-7x+10=0\implies(x-2)(x-5)=0\implies$$$$x=2\quad;\quad x=5$$

2. Fall: \(a^0=1\text{ mit }a\ne0\)$$x^2-13x+42=0\implies(x-6)(x-7)=0\implies$$$$x=6\quad;\quad x=7$$Wir müssen noch prüfen, ob für diese Lösungen \((x^2-7x+11)\ne0\) ist, weil \(0^0\) nicht definiert ist.$$(6^2-7\cdot6+11)=5\ne0\quad\checkmark\quad;\quad(7^2-7\cdot7+11)=11\ne0\quad\checkmark$$

3. Fall: \((-1)^{2n}=1\text{ mit }n\in\mathbb Z:\)

$$x^2-7x+11=-1\implies x^2-7x+12=0\implies (x-4)(x-3)=0\implies$$$$x=3\quad;\quad x=4$$Wir prüfen noch, ob das Exponential-Polynom für \(x=3\) und \(x=4\) eine gerade Zahl ist:$$(3^2-13\cdot3+42)=12\quad\checkmark\quad;\quad(4^2-13\cdot4+42)=6\quad\checkmark$$

Zusammengefasst haben wir also sechs Lösungen gefunden:$$\mathbb L=\{2,3,4,5,6,7\}$$

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Respekt!                                .

Respekt!  

und das, obwohl die Lösung das Paradebeispiel einer abschreibfertigen Komplettlösung ist

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x^2 - 7·x + 11 = 1 --> x = 2 ∨ x = 5

x^2 - 13·x + 42 = 0 --> x = 6 ∨ x = 7

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Die Aufgabe ist besser als deine Antwort vermuten lässt.

Stimmt. Ich habe den Sonderfall von -1 als Basis und einem geraden Exponenten nicht berücksichtigt.

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Entweder ist der Exponent 0 oder die Basis 1.

x^2-13x+42=0

(x-6)(x-7)=0

x=6 v x= 7

x^2-7x+11=1

x^2-7x+10=0

(x-2)(x-5)=0

x=2 v x=5

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