Sei xn Folge und arcsin(xn)->arcsin(x). Zeige: xn -> x

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

(b) Sei \( \left(x_{n}\right)_{n} \) eine Folge mit \( x_{n} \in(-1,1) \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) und \( \arcsin \left(x_{n}\right) \rightarrow \arcsin (x) \). Zeigen Sie, dass auch \( x_{n} \rightarrow x \).

Problem/Ansatz: Erstmal dachte ich, dass es sich bei der Aufgabe um gleichmäßige Konvergenz etc. handelt und kam nicht weiter, da aber der Aufgabenteil a) mit dem Mittelwertsatz der Diff. gelöst werden konnte, vermute ich, dass der Lösungsweg irgendwas damit zutun hat. Ich komme leider auf keine Idee oder Ansatz.

Comments

Hallo

arcsin ist eine stetige Funktion  sin auch .

lul

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Wichtig wäre wohl, zu beachten, dass die auf dem Intervall   I = [-1 ... +1] definierte Funktion arcsin dieses Intervall stetig (und dazu in streng monotoner Weise) auf das Intervall  [ -\( \frac{π}{2} \) ... +\( \frac{π}{2} \) ]  abbildet.

Answer 1

Mit dem Arcsinus kann man umgekehrt vom Seitenverhältnis (Wert zwischen -1 und 1) auf den zugehörigen Winkel (Wert zwischen 0 und 360°) zurückschließen. Wichtig ist hier, dass die Zuordnung nicht eindeutig ist, einem Sinus-Wert entsprechen mehrere Winkel - der Taschenrechner spuckt aber nur einen aus.

MFG

Chemiker