3. Binomische Formel von (a*a)-(b*b) nach (a+b)*(a-b) umstellen

Question

Aufgabe:

a²-b²=(a*a)-(b*b)=(a+b)*(a-b)

Problem/Ansatz:

Hallo miteinander, ich habe ein Problem mit der 3. Binomischen Formel.

Ich weiß leider nicht mehr wie ich von (a*a)-(b*b) nach (a+b)*(a-b) komme.

Ich kann's einfach nicht umsetzen

Für einen ausführlichen Lösungsweg wäre ich sehr dankbar.

Schon mal danke für eure Hilfe

Comments

Danke für die schnelle Antwort.

Leider ist die Fragestellung genauso wie beschrieben:

Vom a² - b² zu (a+b)*(a-b).

Umgekehrt ist es kein Problem und das es funktioniert ist, klar (3. Binomische).

Die Frage ist nur wie komme ich über das Quadrat dahin.

Trotzdem danke.

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Vielleicht versuchst du die visuelle Variante:

Die beiden blauen Rechtecke ergeben

\(b(a-b)+a(a-b)\)

Jetzt a - b ausklammern ⇒ \((a+b)\cdot (a-b)\)

Oder du multiplizierst die Klammern aus:

\(ab-b^2+a^2-ab\)

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Sorry aber immer noch keinen Plan.

Danke für eure Mühe aber es macht keinen Sinn ich komm einfach nicht dahinter.

a² - b² = a² = (a*a)und b² = (b*b) > Dann weiter mit was?

Auch die Grafik bringt mich nicht weiter (Trotzdem danke)

Bin noch verwirrter als vorher.

Last es bleiben ich verstehe es einfach nicht.

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Probiere doch mal den Vorschlag von abakus:

\((a+b)(a-b)=\)

Jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem aus der 2. Klammer multipliziert ergibt:

\((a+b)(a-b)= a^2-ab+ba-b^2\\ =a^2+ab-ab-b^2\\=a^2-b^2\)

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Ich glaube jetzt hab ich einen Ansatz gefunden und der ist einfach und simpel :

Ziehe das kleine Quadrat von dem großen Quadrat ab >> a² - b²

(unterschiedliche Variablen aber beide Quadrate)

Die übrigen Fläche sind Rechtecke also a*b und müssen sich gegenseitig aufheben.

Das bedeutet für die Binomischen Formeln 1 bis 3 :

1. Die Gesamtfläche vergrößert sich, bleibt aber Quadratisch

2. Die Gesamtfläche verkleinert sich, bleibt aber Quadratisch

3. Von der vorhanden Fläche wird ein Quadrat herausgeschnitten.

    Es entsteht ein Rechteck.

Letzte Frage: ist das ungefähr richtig?

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Ja, so kann kannst du es dir merken.

Answer 1

Gehe die andere Richtung. Multipliziere (a+b)*(a-b) aus.

Answer 2

Vom a² - b² zu (a+b)*(a-b).

a^2 - b^2
a^2 + ab - ab - b^2
a * ( a + b ) - b * ( a + b )

( a - b ) * ( a + b )

Comments

Danke für die ausführliche Information.

Ich bin dem Verständnis schon etwas näher.

Leider verstehe ich immer noch nicht wie man auf die zweiten Zeile kommt.

Die dritte Zeile ist einfach Ausklammern (Faktorisieren) der zweiten Zeile, kein Problem. Aber wie komme ich auf diese?

Welche Regel steht dahinter? Was muss ich mir anschauen und verstehen?

a² - b² = a*a - b*b = a² + ab - ab -b²

Sorry, das ich nochmal nachfragen muss, irgendwo mach ich einen Gedankenfehler.

Schon mal danke im Voraus für die Antwort

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a^2 - b^2
Ich füge jetzt einfach ( +ab - ab ) hinzu
was ja bekanntlich null ist
a^2 + ab - ab - b^2

Wie man auf das kommt ?
Ausprobieren / Intuition

Oder doch rückwärts
( a - b ) * ( a + b ) =
a^2 + ab - ab - b^2 =
a^2 - b^2

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Die binomischen Formel sind Ausprobieren und Intuition?

Verstehe ich nicht. Dachte Mathematik basiert auf Logik und Muster.

Die 3. Binomische Formel auswendig zu lernen ist kein Problem.

Auch die Struktur ist klar. Nur der Weg dorthin ist für mich nicht ersichtlich.

Deshalb die Frage wie ich von a² - b² auf a²+ab-ab-b² komme.

Trotzdem auch dir ein Danke für deine Antwort, leider hilft sie mir nicht weiter.

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Deshalb die Frage wie ich von a² - b² auf a²+ab-ab-b² komme.

Steht zwar schon oben aber ein letzter Mal

a^2 - b^2  | + ab - ab
a^2 + ab + ab - b^2
anders geschrieben oder umgestellt
a * ( a + b ) - b * ( a + b )
( a + b ) * ( a - b )

Die binomischen Formel sind nicht
Ausprobieren und oder Intuition.
sondern meine Umstellungen

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Danke für die Antwort.

Leider verstehe ich deine Antwort immer noch nicht.

Wie kommst du auf: Ich füge jetzt einfach | +ab-ab hinzu?

Das verstehe ich nicht !

Das sich + und - aufhebt ist klar, aber wie kommt du auf +ab-ab?

wenn a² - b² = a*a - b*b ist?

Sorry, aber ich verstehe deine Erklärung nicht.

Für dich mag das einfach sein, ich blick da nicht durch.

Nochmals danke für deine Erklärung, auch wenn ich sie nicht verstehe.

Vielleicht hilft sie ja jemand anderen.

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Du bist zwar ein hoffnungsloser Fall
HiHI Hoho HaHa
aber ich gebe nicht auf.

Ausgehend von
a^2 - b^2
eventuell kommt dieser Term aus der
3.Binomischen Formel ?

3.Binomische Formel
( a + b ) * ( a - b )
a^2 + ab - ab - b^2

Ich brauche also zu erweitern
a^2 - b^2
mit
+ab -ab ( null )

und erhalte
a^2 + ab - ab - b^2

Kurzfassung
a^2 - b^2  | + ab - ab
a^2 + ab + ab - b^2
anders geschrieben oder umgestellt
a * ( a + b ) - b * ( a + b )
( a + b ) * ( a - b )

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Danke dir, aber leider : Ich verstehe dich nicht.

Warum erweitern mit +ab-ab(Null)

Warum tust du das? Auf welchen Mathematikgesetz beruht das?

Woher kommt +ab-ab ?????

Wie komme ich auf +ab-ab ?????

Deine Erklärung ist ausführlich, die 3. Binomische Formel ist genau so erklärt wie sie in allen Mathematikbüchern dieser Welt steht, alles ist richtig, das Ergebnis ist Okay und bei a²- b² handelt es sich um einen Term.

Aber ich verstehe immer noch nicht wie man auf +ab-ab kommt.

Ich will es verstehen und nicht Auswendiglernen.

Bin eben ein hoffnungsloser Fall. Ich verstehe es einfach nicht.

So langsam bin ich wirklich am Verzweifeln.

Trotzdem danke für deinen Versuch es mir zu erklären :-)

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a^2 + ab - ab - b^2
ist die ausmultiplizierte Form der
3. Binoschen Formel

Ja oder nein ?

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Wie kommt man von
a^2 - b^2
auf
a^2 + ab - ab - b^2 ?

Durch Einfügen von ( + ab - ab )

Ja oder Nein ?

Answer 3

Geh das mal durch und schreibe wo deine Verständnisprobleme liegen.

a^2 - b^2

= a^2 - ab + ab - b^2

= a * (a - b) + b * (a - b)

= (a + b) * (a - b)