Aufgabe:
Binomische Formel \( (a+b)^{3} \) und Fermat(?) - wo ist der Haken?
Ich möchte gern wissen, ob man die Binomische Formel \( (a+b)^{3} \) durch
geeignetes Umformen in die Form
\( x^{3}\phantom{10}+\phantom{10}y^{3}\phantom{10}=\phantom{10}z^{3} \phantom{10}x,y,z \in \mathbb{N} \)
bringen kann.
Problem/Ansatz:
Ein einfaches Beispiel wäre, wenn man in \( (a+b)^{3} \) den Wert \(a=b\) einsetzt.
Es ergibt sich der folgende Ausdruck:
\( (a+b)^{3} = (2a)^{3} = 8a^{3} \)
\( a^{3} + 7a^{3} = 8a^{3} \phantom{10} a,b \in \mathbb{N} \phantom{5} a \neq 0 \)
Die Struktur der Gleichung sieht wie Fermats Vermutung für die Potenz 3 aus.
Die Werte von \( a^{3} \) und \( 8a^{3} \) sind ganzzahlige Kubikzahlen, der Wert von \( 7a^{3} \) kann keine ganzzahlige Kubikzahl sein, weil die dritte Wurzel von 7 nicht ganzzahlig ist. Also wäre für dieses Beispiel die Vermutung von Fermat richtig.
Für den allgemeinen Fall setze ich in der Binomischen Formel \( (a+b)^{3} \) den Wert \( b=(b/a) \cdot{a} \)
und erhalte den Ausdruck
\( (a+b)^{3}=(a+(b/a)\cdot{a})^{3}=(a\cdot{(1+(b/a)))}^{3}=a^3\cdot{(1+(b/a))^{3}} \)
Von diesem Ausdruck subtrahiere ich nun \( a^{3} \) und es ergibt sich
\( a^{3} \cdot{(1+(b/a))^{3} } -a^{3} =a^{3} \cdot{((1+(b/a))^{3} -1) } \)
Nun wird \( a^{3} \) wieder addiert und man erhält insgesamt die gewünschte Binomische Formel:
\( a^{3} + a^{3} \cdot{((1+(b/a))^{3} -1)} = (a+(b/a)\cdot{a})^{3} \)
Setzt man
\( x^{3} =a^{3} \)
\( y^{3} =a^{3} \cdot{((1+(b/a))^{3} -1)} \)
\( z^{3} =(a+(b/a\cdot{a})^{3} \)
ergibt sich die (Fermat)Gleichung \( \phantom{10} x^{3}+y^{3}=z^{3} \phantom{10} x,y,z \in \mathbb{N} \)
\( x^{3} \) und \( z^{3} \) sind ganzzahlige Kubikzahlen.
Es muss nun untersucht werden, ob der Ausdruck \( y^{3} =a^{3} \cdot{((1+(b/a))^{3} -1)} \)
ebenfalls eine ganzzahlige Kubikzahl ist.
Für den ersten Faktor \( a^{3} \) trifft das zu.
Für den zweiten Faktor \( (1+(b/a))^{3} -1 \) kann man das beweisen, indem man analog \( m^{3}-1=n^{3} \) überprüft:
\( m^{3}-n^{3}=1 \phantom{10} m,n \in \mathbb{N} \)
Eine Faktorisierung ergibt \( m^{3}-n^{3}=(m-n) \cdot{ (m^{2}+mn+n^{2})}=1 \)
Da hier \( (m-n)=1 \) und \( (m^{2}+mn+n^{2})=1 \) sein müssen, ergeben sich m=1 und n=0.
Auf den Ausdruck \( (1+(b/a))^{3}-1 \) angewendet bedeutet das \( (1+(b/a))^{3}=1 \) und somit wäre
\( (1+(b/a))^{3}-1 \) nur mit \( (b/a)=0 \) eine ganzzahlige Kubikzahl.
Zusammenfassend kann man sagen, dass allgemein der Ausdruck
\( y^{3} =a^{3} \cdot{((1+(b/a))^{3} -1)} \) für \( b>0 \) keine ganzzahlige Kubikzahl sein kann und
somit die Vermutung von Fermat für die Gleichung \( x^{3}+y^{3}=z^{3} \) zutreffend ist.
Ich finde, das wäre ein "wunderbarer Beweis" und auch auf höhere Potenzen anwendbar.
Kann man das einfach so stehen lassen oder wo ist hier der Fehler versteckt?
