Aufgabe:
Mögliche Lösung für \( z^{3}-x^{3}=y^{3} \)
Problem/Ansatz:
Es soll ermittelt werden, welche Lösungen die (Fermat)Gleichung \( z^{3}-x^{3}=y^{3} \) hat.
Dabei soll gelten \( \phantom{5} z > y > x \phantom{5} x,z \in \mathbb{N} \)
Zunächst ersetze ich in der Gleichung \( z^{3}-x^{3}=y^{3} \phantom{10}x,z \in \mathbb{N} \)
\( z^{3}=(a+1)^{3}=a^{3}+3a^{2}+3a+1 \phantom{10} a \in \mathbb{N} \)
\( x^{3}=(a-1)^{3}=a^{3}-3a^{2}+3a-1 \)
Ich berechne also sozusagen den Vorgänger und Nachfolger der Zahl y.
Subtrahiert man beide Gleichungen voneinander, dann ergibt sich
\( z^{3}-x^{3}=y^{3}=6a^{2}+2 \)
Das bedeutet , wenn ich die (Fermat) Gleichung \( \phantom{5} x^{3}+y^{3}=z^{3} \phantom{5} \) lösen wollte,
dann ergibt sich für \( \phantom{5} y^{3}=6a^{2}+2 \)
Die einzigen trivialen ganzzahligen Lösungen sind hier y=2 und a=1.
Ansonsten ist die Lösung \( \phantom{5} y=\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{3a^{2}+1} \phantom{5}\) wahrscheinlich nicht ganzzahlig
( z.B. wegen der Irrationalität von \( \phantom{5}\sqrt[3]{2} \) ).
Ich kann das aber leider nicht "richtig" beweisen. Über eine Idee würde ich mich freuen.
Man müsste eventuell auch noch beweisen, dass die Wahl von \( \phantom{5} x^{3}=(a-1)^{3} \phantom{5} \) und
\( \phantom{5}z^{3}=(a+1)^{3} \phantom{5} \) für die Zerlegung die einzig sinnvolle Variante ist.
Das hat meiner Meinung damit zu tun, dass man die grösst-möglichen Zahlen wählen sollte. Ich habe das
auch an mehreren Beispielen probiert, aber das ist natürlich kein Beweis.
Eigentlich wollte ich hier auf eine ganz einfache Art zeigen, dass man die ganzzahlige Kubikzahl z^3
nicht in die Summe zweier ganzzahliger Kubikzahlen x^3, y^3 zerlegen kann, weil nur x^3 ganzzahlig ist.
Wäre das eine Möglichkeit (in Richtung Fermat) oder ist das alles Unsinn?
