Aufgabe:
Es sollen ganzzahlige Lösungen für \( y^{3}=a \cdot (3x^{2}+3ax+a^{2}) \) gefunden werden.
Problem/Ansatz:
Die Gleichung \( y^{3}=a \cdot (3x^{2}+3ax+a^{2}) \) hat folgende ganzzahlige "trivialen" Lösungen:
\( x=0, \phantom 3 y=a \) und \( x=-a , \phantom 3 y= a \)
Die Frage ist nun, ob es noch weitere ganzzahlige Lösungen gibt. Meine Vermutung: Nein.
Ich versuche an Beispielen das Problem mit Primfaktorzerlegung zu veranschaulichen.
1.Beispiel: 125
\( y^{3}= 125 =5 \cdot 5\cdot 5 = 5 \cdot (3x^{2} + 3\cdot 5\cdot x + 5^{2}) \)
ergibt als Lösungen (siehe oben) \( x=0, \phantom 3 y=5 \) und \( x=-5 , \phantom 3 y=5 \)
2.Beispiel: 512
\( y^{3}= 512 = 2^{9} = 2^{3}\cdot 2^{3}\cdot 2^{3} \)
Es ergeben sich mehrere Möglichkeiten:
\( a=2: \phantom 3 512=2 \cdot (3x^{2} + 3\cdot 2\cdot x + 2^{2}) \) hat die Lösung \( x_{1}= \sqrt{85} -1, \phantom 3 x_{2}= -\sqrt{85} -1 \)
\( a=4: \phantom 3 512=4 \cdot (3x^{2} + 3\cdot 4\cdot x + 4^{2}) \) hat die Lösung \( x_{1}= 2\sqrt{\frac{31}{3}} -2, \phantom 3 x_{2}=-2\sqrt{\frac{31}{3}} -2 \)
\( a=8: \phantom 3 512=8 \cdot (3x^{2} + 3\cdot 8\cdot x + 8^{2}) \) hat die Lösung \( x_{1}=0, \phantom 3 x_{2}= -8 \)
Es folgen dann komplexe Lösungen:
\( a=16: \phantom 3 512=16 \cdot (3x^{2} + 3\cdot 16\cdot x + 16^{2}) \) ergibt \( x_{1}=-8+4i\sqrt{\frac{2}{3}} -10, \phantom 3 x_{2}=-8-4i\sqrt{\frac{2}{3}} \)
usw.
3.Beispiel: 27.000
\( y^{3}= 27000 = 8 \cdot 27\cdot 125 = 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5^{3} \)
Die Gleichung \( y^{3}= 27000 = a \cdot (3x^{2}+3ax+a^{2}) \) lässt sich nun mit allen möglichen Produkten von 2, 3, 5 für den Wert der Variablen a durchrechnen und man erhält immer nur Wurzelausdrücke oder Komplexe Zahlen.
(Vielen Dank an Wolfram Alpha !! )
( Ausgenommen sind natürlich die "trivialen" Lösungen mit \( x=0, \phantom 3 x=-30 \) )
Nun die eigentliche Frage: Wie könnte man die Prozedur mit dem "Ausprobieren am Beispiel" vereinfachen, so dass man letztlich erkennen kann, dass es nur die "trivialen" ganzzahligen Lösungen gibt - oder eventuell auch nicht.
Letztlich gehts ja immer um das Lösen einer quadratischen Gleichung, nur fehlt mir irgendwie die Idee, wie man das Muster erkennen kann und die Aufgabe systematisch lösen könnte.
