Differenzierbarkeit für welche b? f(x)= sin(1/x^b)

Question

Für welche b ist die Funktion  f(x)= sin(1/x^b) differenzierbar?

Differentialquotienten anwenden.

Dann gilt: sin(x^-b)/x  für x-->0  würde das aber nicht gehen. Vorschläge?


Alternativorschläge?

Answer 1

Annahme: f(x) ist differenzierbar, dann existiert f'(x) mit f'(x)=-b cos (x^-b) x ^-(b+1) . So, die Annahme kann nur dann wahr sein, wenn |f'(x)| endlich ist für x → 0. dies ist der fall wenn |f'(x)|<|b| |x ^-(b+1)| →0 falls b=0 oder-( b+1)>0 ⇔ b<-1

Fazit f ist in 0 differenzierbar genau dann, wenn b ∈ (-∞,-1] ∪ {0}