Wie kommt man auf Differentialquotienten bei x² sin(1/x)

Question

Aufgabe:

$$ R->R, x->\begin{cases} { x }^{ 2 }sin(\frac { 1 }{ x } ), \text{ für } x \neq 0 \\ 0 , \text{ für } x=0 \end{cases} $$

Musterlösung:

\( \xrightarrow [ lim ]{ x->0 } \frac { f(x)-f(0) }{ x-0 } =\xrightarrow [ lim ]{ x->0 } \frac { { x }^{ 2 }sin(\frac { 1 }{ x } ) }{ x } =\xrightarrow [ lim ]{ x->0 } xsin(\frac { 1 }{ x } )=0 \)

Daher ist f'(0)=0, für x=0.

Mein Problem:

Ich verstehe nicht, wie man auf \( \xrightarrow [ lim ]{ x->0 } \frac { { x }^{ 2 }sin(\frac { 1 }{ x } ) }{ x } \) kommt, denn f(0) also \( { 0 }^{ 2 }sin(\frac { 1 }{ 0 } ) \) ist doch nicht definierbar? Oder betrachtet man den Grenzwert von f(0)?

Answer 1

f(x)=0 für x=0 steht doch oben, also ist f(0)=0 definiert. Natürlich ist auch $$\lim\limits_{x\to0}x^2sin(1/x)=0$$,

denn sin(1/x) liegt zwischen -1 und 1 und x^2 strebt gegen 0. Die Funktion ist also stetig.

Comments

Achso, man nimmt dafür die untere Teilfunktion, ich habe immer mit der oberen gerechnet und mich gewundert wie man auf f(0)=0 kommt.