Textaufgaben zu Ungleichungen

Question

Aufgabe:

In einem Ladengeschäft wird der Einkauf der neuen Wissensspiele "Diamant" und "rubin" geplant. Zur Ermittlung der optimalen Einkaufszahlen muss folgendes berücksichtigt werden: Die Anzahl Spiele "Diamant" soll sich zur Anzahl Spiele "Rubin" höchstens wie 5:3 verhalten. Zusätzlich gilt es zu berücksichtigen, dass vom Spiel "Diamant" mindestens gleich viele Exemplare eingekauft werden wie vom Spiel "Rubin". Von beiden Spielen zusammen sollen mindestens 20, aber höchstens 48 Stück gekauft werden. Der Bruttogewinn für ein Spiel "Diamant" beträgt CHF 12.-, für ein Spiel "Rubin" CHF 8.-

Bestimmen Sie die Einkaufsbedingungen und die Zielfunktion für einen maximalen Bruttogewinn, und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar. Bei welchen Stückzahlen ist der Bruttogewinn am grössten und wie hoch ist er?

Problem/Ansatz:

Leider verstehen ich solche Textaufgaben recht wenig und finde die Aufstellung kompliziert. Kann mir jemand diese Aufgabe erklären also die Vorgehensweise und wie ich es aufstellen sollte? Riesen DANK

Answer 1

Die Anzahl Spiele "Diamant" (y) soll sich zur Anzahl Spiele "Rubin" (x) höchstens wie 5:3 verhalten.

y < 5/3 * x

Zusätzlich gilt es zu berücksichtigen, dass vom Spiel "Diamant" mindestens gleich viele Exemplare eingekauft werden wie vom Spiel "Rubin".

y >= x

Von beiden Spielen zusammen sollen mindestens 20,

y >= 20 - x

aber höchstens 48 Stück gekauft werden.

y <= 48 - x

Der Bruttogewinn für ein Spiel "Diamant" beträgt CHF 12.-, für ein Spiel "Rubin" CHF 8.-

G = 12 y + 8 x

Skizze

~plot~ 5/3*x;x;20-x;48-x;(504-8x)/12;[[0|50|0|50]] ~plot~

Answer 2

Du hast unterschiedliche Angaben zu "mindestens" oder "höchstens" oder "im Verhältnis", die solltest du in Ungleichungen umsetzen, also z.B.

"mindestens 10 Rubin": R>=10 oder

"Rubin + Diamant zusammen maximal 40": R+D<=40

"mindestens so viele Rubin wie Diamant" R>=D etc.

Dann ein Koordinatensystem mit R und D auf den Achsen. Wenn D auf der Y-Achse, dann alle Ungleichungen nach D auflösen - Vorsicht bei der Multiplikation mit negativen Zahlen!

Die Zielfunktion lautet 12 D + 8 R -> max! Auch die nach D auflösen, die Gerade an irgendeiner Stelle eintragen, wichtig ist nur die Steigung. Danach für die optimale Lösung die Zielfunktion parallel nach außen verschieben, bis sie gerade noch im von den Ungleichungen erlaubten Bereich ist.