Hallo:-)
In der Regel interessiert man sich bei solchen Konvergenzbeweisen nicht für die explizite Gestalt von \(n_0(\varepsilon)\), sondern für die Existenz. \(n_0(\varepsilon)\) ist eher ein Ergebnis der geschickten Wahl, um den Konvergenzbeweis führen zu können. Das soll heißen, dass dein \(n_0(\varepsilon)\) nicht direkt eine Umformung von deiner Ausgangsfolge sein muss (und in der Regel auch schwer möglich ist; Gleichungen können beliebig kompliziert werden...).
Man formt auch besser nicht auf beiden Seiten um, da es unter Umständen zu Fehlern in der Äquivalenz kommen kann (Quadrieren zb). Es ist daher besser, wirklich den Ausdruck von einer Seite zur anderen Seite umzuformen bzw. abzuschätzen:
Sei \(\varepsilon>0\) beliebig und wähle \(n_0(\varepsilon)\in \mathbb{N}\) mit \(n_0(\varepsilon)\ \text{bla bla bla}\) (Ich sag gleich noch was dazu).
Dann gilt für alle \(n\geq n_0(\varepsilon)\):
\(\begin{aligned}\left|\frac{3n-2}{2n+3}-\frac{3}{2} \right|&=\left|\frac{2\cdot (3n-2)-3\cdot (2n+3)}{2\cdot (2n+3)}\right|\\[15pt]&=\left|\frac{6n-4-6n-9}{2\cdot (2n+3)}\right|\\[15pt]&=\left|\frac{-13}{2\cdot (2n+3)}\right|\\[15pt]&=\left|\frac{13}{2\cdot (2n+3)}\right|\\[15pt]&=\frac{13}{2\cdot (2n+3)}\\[15pt]&\leq \frac{13}{4n}\\[15pt]&\leq \frac{13}{n}\\[15pt]&\stackrel{n\geq n_0(\varepsilon)}{\leq} \frac{13}{n_0(\varepsilon)}\stackrel{!}{<} \varepsilon \end{aligned}\)
Nun zurück zu ,,bla bla bla". Ich will den Fehler \(\left|\frac{3n-2}{2n+3}-\frac{3}{2} \right|\) beliebig klein bekommen. Jetzt schaue ich mir die letzte Ungleichung an: \(\frac{13}{n_0(\varepsilon)}\stackrel{!}{<} \varepsilon\). Also muss \(\frac{13}{\varepsilon}< n_0(\varepsilon)\) gelten. Das war bis jetzt nur Schmierarbeit. Der finale Beweis lautet dann:
Sei \(\varepsilon>0\) beliebig und wähle \(n_0(\varepsilon)\in \mathbb{N}\) mit \(\frac{13}{\varepsilon}< n_0(\varepsilon)\). Dann gilt für alle \(n\geq n_0(\varepsilon)\):
\(\begin{aligned}\left|\frac{3n-2}{2n+3}-\frac{3}{2} \right|&=\left|\frac{2\cdot (3n-2)-3\cdot (2n+3)}{2\cdot (2n+3)}\right|\\[15pt]&=\left|\frac{6n-4-6n-9}{2\cdot (2n+3)}\right|\\[15pt]&=\left|\frac{-13}{2\cdot (2n+3)}\right|\\[15pt]&=\left|\frac{13}{2\cdot (2n+3)}\right|\\[15pt]&=\frac{13}{2\cdot (2n+3)}\\[15pt]&\leq \frac{13}{4n}\\[15pt]&\leq \frac{13}{n}\\[15pt]&\stackrel{n\geq n_0(\varepsilon)}{\leq} \frac{13}{n_0(\varepsilon)}\stackrel{\frac{13}{\varepsilon}< n_0(\varepsilon)}{<} \frac{13}{\frac{13}{\varepsilon}}=\varepsilon. \end{aligned}\)
