Wachstumsfunktion mit Sinus nach Variable umstellen

Question

Aufgabe:

Ich muss diese Gleichung nach t umstellen:

\( \alpha=15^{\circ} \cdot e^{-0.2 t} \sin t, \quad t \geq 0 \)

Problem/Ansatz:

1. | :15 2. | ln dann komme ich auf ln(Alpha/15) = -0.2t + ln(sin(t)), hier komme ich nicht mehr weiter.

Ich muss die Zeit finden nach der die den Schwingungsverlauf e-Fkt. auf 5 % des Anfangswertes zur Zeit t= 0 zurückgegangen ist. Ich denke also Alpha = 15°*0.05? Die Lösung ist aber 14.98 s und es gibt mehrere Lösungen zu Alpha. Was verstehe ich bei der Aufgabe nicht?

Comments

Zur Zeit \(t=0\) ist die Auslenkung \(\alpha(t=0)=0\), weil \(\sin(0)=0\) ist. Wie möchtest du jetzt bestimmen, wann \(5\%\) dieser Auslenkung \(0\) erreicht sind? Kannst du bitte mal die ganze Aufgabe posten, irgendwas fehlt.

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Dabei ist die Zeit t in Sekunden anzunehmen. Man ermittle diejenige Zeit, nach der die den
Schwingungsverlauf begrenzende Exponentialfunktionen auf 5% ihres Anfangswertes zur Zeit
t = 0 zurückgegangen sind.

Die Fkt. beschreibt ein gedämpft schwingendes math. Pendel, dabei ist alpha der Auslenkungswinkel.

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So wie ich das verstehe brauche ich die Zeit die den letzten Wert von Alpha = 15*0.05 annimmt. Stimmt das?

Answer 1

Aloha :)

Ah, nur die einhüllende \(e\)-Funktion soll auf 5% ihres Wertes abgefallen sein:$$\left.e^{-0,2t}=5\%\cdot e^{-0,2\cdot0}\quad\right|\text{rechts ausrechnen}$$$$\left.e^{-0,2t}=0,05\quad\right|\ln(\cdots)$$$$\left.-0,2t=\ln(0,05)\quad\right|:(-0,2)$$$$\left.t=\frac{\ln(0,05)}{-0,2}\approx14,9787\quad\right.$$

Answer 2

Die Fkt. selbst kann man algebraisch nicht nach t umstellen, weil t sowohl im Exponenten als auch als Argument

des sin auftritt. -> Näherungsverfahren verwenden