Berechnen Sie r,h und V des Zylinders.

Question

Aufgabe:

Einem geraden Kreiskegel mit gegebenen Durchmesser und Höhe soll ein gerader Kreiszylinder mit größtmöglichem Volumen einbeschrieben werden, wobei die Grundflächen aufeinander liegen. Berechnen Sie r,h und V des Zylinders.

Hinweis: Sollten Sie nicht in der Lage sein diese Aufgabe allgemein zu lösen geben Sie sich die fehlenden Größen sinnvoll an.

Problem/Ansatz:

Was unter allgemein lösen gemeint ist, verstehe ich schon. Mein Problem ist nur, ich weiß nicht genau wie das in der Praxis aussehen soll.

Weil ich habe jetzt folgendes gemacht, aber das fühlt sich extrem falsch an:
$$d^2 = r^2 + h^2 | - h^2$$
$$r^2 = d^2 - h^2$$
$$ r = \sqrt{d^2 -h^2}$$
$$ r = wert $$
$$V = \pi*r^2*h $$
$$V' = 2\pi*r$$
$$ V'' = 2\pi > 0 TP/Minimum $$

Weil mein Problem ist, ich habe bei "r=" nichts raus womit ich in die Volumen Formel V rein gehen kann.

Answer 1

Du veranstaltetst hier eine sinnlose Formelorgie, ohne konkret zu benennen, was du mit r, h usw. im konkrten Moment meinst.

Zyhinder und Kegel haben unterschiedliche Radien und Höhen, um sie zu unterscheiden, musst du auch unterschiedliche Variablen verwenden (z.B. r und R sowie h und H).

Wenn du die Großbuchstaben für den Kegel und die Kleinbuchstaben für den Zylinder verwendest, solltest du aus deiner Skizze folgendes entnehmen können:

R : H = r : (H-h)

R (als Hälfte von D) und H sind gegeben, r und h gesucht. Mit obigem Verhältnis kannst du r durch h ausdrücken. Damit lässt sich das Volumen des Zylinders allein durch h ausdrücken.

Comments

Und wie kamst du auf diees Verhältnis von R : H = r : (H-h) ? Mit den Strahlensatz?

Wie meinst du "R (als Hälfte von D)" genau? Meinst du damit nur das der Radius die Hälfte des Durchmessers ist? Wenn ja, müsste man da bei der Gleichung noch irgendwas beachten?

Bei dem hier verstehe ich nicht so ganz wie das gemeint ist.
Bedeutet das einfach nur das ich nach h umstellen müsste und damit hätte ich das Volumen? Wenn ja, warum ist das so?
: "Mit obigem Verhältnis kannst du r durch h ausdrücken. Damit lässt sich das Volumen des Zylinders allein durch h ausdrücken."

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und damit hätte ich das Volumen

Natürlich hast du es damit noch nicht!

Du kannst aber jetzt in der Volumenformel

V(r,h)=π*r²*h

die Variable r durch h ausdrücken und hast damit die nur noch von h abhängige Formel

V(h)=π*(Term mit h)² * h

welche du ableiten kannst, um die Ableitung 0 zu setzen.

Übrigens hattest du bei

$$V = \pi*r^2*h $$$$V' = 2\pi*r$$

einen Fehler in der Ableitung. Findest du ihn?

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Ach so, d.h. ich ersetze r² mit h einfach. Sodass ich am Ende nur noch h in der Formel habe, richtig?

Bei der 1. Ableitung wäre die 1. Ableitung doch $$ 2 \pi * r $$ Weil 2 * Pi * r^(2-1) und h fliegt weg.

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Oder sehe ich das falsch?

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Ja, du siehst das falsch. Du hast nach r abgeleitet, deshalb ist r die Variable und h ein konstanter Faktor (so wie auch 2 ein konstanter Faktor ist, und den Faktor 2 hast du behalten).

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Ok, das macht Sinn. Wenn ich aber jetzt h ableite, habe ich in der abgeleiteten Form 1.
Also $ V' = 2 \pi * r * 1 $$ Ich habe nur die 1 weggelassen.
Oder sehe ich den Fehler einfach nicht? Wie wäre denn die richtige Ableitung?

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\(V(r) = \pi*r^2*h \)´

ergibt nach r abgeleitet

\(V'(r) = 2\cdot\pi\cdot r\cdot h \).

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Warum? Ich kenne das eigentlich, dass dann bspw. diese Variable h bzw. Konstante wegfällt,also so habe ich das gelernt.

D.h. angenommen ich habe folgende Funktion, da hätte ich dann auch die Ableitung:

$$ g(x) = 4x^2 + 2 $$
$$ g'(x) = 8x $$

Oder:

$$ h(x) = 4x^3 + h $$
$$ h'(x) = 12x^2 $$

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Stimmt hast Recht. Deins stimmt :D Mein Problem ist, wie man oben sieht, dass ich diese ganze Zeit denke das zwischen r und h ein Plus stehte, dabei ist es ja ein Mal.
Und bei Mal ist das ja wieder anders :D
Das liegt an den Ferien :D

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Also ich habe jetzt folgendes:
$$ \frac{R}{H} = \frac{r}{H -h}| * H $$
$$ R = H - \frac{H*r}{h} | *h | / R $$
$$ h = H - \frac{H*r}{R} $$

$$ V = \pi * r^2 * h $$
$$ V = \pi * r^2 * (H - \frac{H*r}{R} ) $$
$$ V = \pi * r^2 * H - \frac{\pi * r^3 * H}{R} $$
Hier beim ableiten war ich mir jetzt unsicher:
$$ V' = 2\pi * r * H + \frac{\pi r^3 * H}{R^2} $$
$$ V' = 0 $$
$$ 0 = V' = 2\pi * r * H + \frac{\pi r^3 * H}{R^2} $$

Würde das bisher so stimmen? Was ist falsch?

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Was ist falsch?

In Zeile 2 heißt es richtig

 \(R =  \frac{Hr}{H-h} \) .

Das ist aber vermutlich nur ein Schreibfehler, denn weiter unten hast du nach h richtig aufgelöst.

Denke beim Ableiten daran, dass du nach klein r ableitest!

Im ersten Summand hast du es richtig gemacht. Im zweiten Summanden hast du nach groß R abgeleitet. R ist aber eine unveränderliche Konstante.

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Vielen Dank für deine Rückmeldung & Korrektur.
D.h. die Ableitung wäre so hier richtig oder:

$$ V' = 2\pi \cdot r \cdot H -\frac{3\pi r^2 H}{R} $$

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Ja. Und für das Nullsetzen des Ableitungsterms solltest du unbedingt den Faktor \( \pi \cdot r \cdot H \) ausklammern.

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Also wäre das dann so hier ausgeklammert:
$$ 0 = \pi rH (2 - \frac{3r}{R}) $$
richtig?

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Ja. Dieser Term wird für zwei Werte von r jeweils 0.

Für r=0 ist die Sache klar, und dann muss ein Minimum vorliegen, denn ein Zylinder mit dem Radius 0 hat das Minimalvolumen 0.

Untersuche nun die Klammer.

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Also
$$ r_{1} = 0 $$ Wegen den
$$ \pi r H $$ vor der Klammer.

Dann müsste ich jetzt nur noch:
$$ 0 = 2 - \frac{3r}{R}  | - 2 $$
$$ -2 = - \frac{3r}{R} | \cdot R$$
$$ -2R = -3r | : (-3) $$
$$ \frac{2}{3}R = r $$
Das sollte glaub so stimmen, wenn ich nirgendswo einen Fehler gemacht habe.

Wegen Nachweis, ob Minimal oder Maximal, müsste ich ja noch die 2. Ableitung bilden. Das wäre glaub:
$$ V'' = 2 \pi - \frac{6 \pi r H}{R} $$
Dann
$$ V''(\frac{2}{3}R) = 2 \pi - \frac{6 \pi \cdot (\frac{2}{3}R) \cdot H}{R} $$

Wäre das bis hier her richtig? Oder habe ich irgendwo einen FEhler gemacht?

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Versuche nochmal, aus \(V'(r) = 2\pi \cdot r \cdot H -\frac{3\pi r^2 H}{R} \) die nächste Ableitung V''(r) (diesmal richtig) zu bilden.

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$$ V''(r) = 2 \pi h - \frac{6 \pi r H}{R}  $$ so hier?

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Ja, abgesehen davon, dass das erste h ein großes H war.

Klammere nun \(2\pi \cdot H \) aus, setze für r den Wert \(\frac{2}{3}R\) ein und prüfe, ob das positiv oder negativ wird.

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Stimmt, es wäre:

$$ V''(r) = 2 \pi H - \frac{6 \pi r H}{R}  $$
$$ V''( \frac {2} {3} R) =  2 \pi H - \frac{4 \pi R \cdot H}{R} $$
$$ V''( \frac {2} {3} R) = - \frac{2 \pi R \cdot H^2}{R} $$
$$ V''( \frac {2} {3} R) = - 2 \pi H^2 $$ -> Tiefpunkt -> Minimum

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Stimmt das so?

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Nein.

Kürze in der zweiten Zeile im hinteren Bruch das H.

Richtig ist, dass man ein negatives Ergebnis erhält.

Falsch ist deine Schlussfolgerung, dass da noch ein Minimum sei.

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Stimmt hast Recht. Es wäre Hochpunkt -> Maximum

Answer 2

Zielfunktion: (1) f(r)=π·r²·h

Nebenbedingung \( \frac{H-h}{R} \)=\( \frac{h}{r} \) oder (2) h=\( \frac{H(R-r)}{R} \).

(2) in (1) einsetzen.