Basis eines Vektorraum finden

Question

Aufgabe:

W ist ein Vektorraum, bezeichnet die 2×2 Matrizen, deren Spur gleich 0 ist.

Ich soll jetzt eine Basis von W finden.

Problem/Ansatz:

besteht die Basis aus zwei 2×2 Matrizen und wie sollt die aussehen?

0 0     und  0 1

1 0             0 0    oder?

Answer 1

die 2×2 Matrizen, deren Spur gleich 0 ist.

Die haben die Form \(\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}\).

Es kommen drei Variablen vor. Stelle die Matrix deshalb als Linearkombination von drei Matrizen mit Spur 0 dar.

Prüfe ob die drei Martizen linear unabhängig sind. Entferne gegebenenfalls Matrizen, die sich als Linearkombination der anderen Matrizen darstelen lassen.

besteht die Basis aus zwei 2×2 Matrizen

Ja, die Basis besteht aus Elementen des Vektorraumes. Aber nicht unbedingt aus zweien.

0 0    und 0 1
1 0            0 0    oder?

Damit lässt sich \(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\) nicht als Linearkombination darstellen.

Comments

Hallo,

und wie ist bei 1 0       1 1

                      1 -1      0 -1?

ist die Basis von W？

MfG

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Hast du die zwei Matrizen mit dem Verfahren gefunden, das ich in meiner Antwort angegeben habe?

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  besteht die Basis aus zwei 2×2 Matrizen

Ja, die Basis besteht aus Elementen des Vektorraumes.

Die Basist besteht aus drei 2x2 Matrizen. Vielleicht verwirrt das den Fragesteller.

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Hallo,

ich habe die  a b      a 0     a 0

                    0 -a    0  -a   c  -a

versucht. Die sind linear unabhängig.

Ich weiss eigentlich nicht, aus wieviel Matrizen besteht die Basis bei diesem Vektorraum

MfG

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1 0      1 1
1 -1      0 -1?
ist die Basis von W？

Nein - man benötigt drei Matrizen, da die allgemeine Matrix $$\begin{pmatrix} a& b \\ c& -a \end{pmatrix}$$ drei Freiheitsgrade \(a\), \(b\) und \(c\) hat. Spur =0 bedeutet, dass die Summe der Elemente auf der Diagonalen =0 ist. Dazu müssen sie nicht zwingend alle identisch zu 0 sein.

Eine simple Basis wäre also$$\left\{ \begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}, \space \begin{pmatrix} 0& 1 \\ 0& 0 \end{pmatrix},\space \begin{pmatrix} 0& 0 \\ 1& 0 \end{pmatrix}\right\}$$

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Vielen Dank!

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ich habe die a b     a 0    a 0
                  0 -a     0 -a   c -a

wäre korrekt, wenn Du für a, b und c jeweils kostante Werte (\(\ne 0\)) einträgst.