f injektiv wenn g surjektiv ist mit der komposition g°f =1x

Question

Aufgabe:

Es seien X und Y endliche nichtleere Mengen.

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Eine Abbildung f : X → Y ist injektiv genau dann wenn es eine surjektive Abbildung g : Y → X gibt mit g◦f = 1X .

(b) Eine Abbildung f : X → Y ist surjektiv genau dann wenn es eine injektive Abbildung g : Y → X gibt mit f ◦g = 1Y .

Problem/Ansatz:

Ich kenne den Beweis, falls die gesamte komposition ja surjektiv oder injektiv ist, aber hier wird behauptet, dass ich zeigen soll, dass g surjektiv ist und dabei gelten soll, dass f injektiv ist.

Answer 1

Eine Abbildung f : X → Y ist injektiv

Sei \(x_0\in X\).

Sei \(g:Y\to X\) mit

        \(y\mapsto\begin{cases}x_0&\text{falls }\forall x\in X: f(x)\neq y\\x&\text{falls }f(x)=y\end{cases}\)

Begründe warum \(g\) wohldefiniert ist.

Zeige dass \(g\circ f = 1_X\) ist und dass \(g\) surjektiv ist.

wenn es eine surjektive Abbildung g : Y → X gibt mit g◦f = 1X

Seien \(x_1,x_2\in X,y\in Y\) mit \(f(x_1) = f(x_2) = y\).

Zeige dass \(x_1 = x_2\) ist.

Comments

Ich kann diese Antwort irgendwie nicht wirklich nachvollziehen, da ich ja auch ein Zusammenhang beweisen soll oder bin ich völlig aufm Schlauch?

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Du musst einerseits zeigen,

        Wenn f : X → Y ist injektiv ist, dann existiert g : Y → X surjektiv mit g◦f = 1X

und andererseits

      Wenn g : Y → X surjektiv mit g◦f = 1X existiert, dann ist f : X → Y injektiv.

Die beiden Teile meiner Antowrt gehören zu diesen beiden Aussagen.