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Aufgabe:


11. Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes an. Beschreibe, wie man den Graphen der Funktion durch Verschieben aus der Normalparabel erhalten kann. Wo fällt der Graph, wo steigt er?
a) y=x^2-4x-5
d) y=x^2+8x+7
b) y=x^2-6x+5
e) y=x^2+3x+4
c) y=x^2-5x+5
i)  y=x^2-2x


Problem/Ansatz:

hallo könnt ihr mich bitte hier helfen? Das wäre sehr lieb...

Danke ihr lieben :)

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Aloha :)

Schreibe die Parabeln mit Hilfe der quadratischen Ergänzung um. Diese findest du, indem du die Zahl vor dem \(x\) halbierst und anschließend quadrierst.

$$\text{a)}\quad y=x^2-4x-5$$Quadratische Ergänzung: \(\left(\frac{-4}{2}\right)^2=4\).$$y=x^2-4x\,\underbrace{+4-9}_{=-5}=(x^2-4x+4)-9=(x-2)^2-9\implies S(2|-9)$$

$$\text{d)}\quad y=x^2+8x+7$$Quadratische Ergänzung: \(\left(\frac{8}{2}\right)^2=16\).$$y=x^2+8x\,\underbrace{+16-9}_{=+7}=(x^2+8x+16)-9=(x+4)^2-9\implies S(-4|-9)$$

$$\text{b)}\quad y=x^2-6x+5$$Quadratische Ergänzung: \(\left(\frac{-6}{2}\right)^2=9\).$$y=x^2-6x\,\underbrace{+9-4}_{=+5}=(x^2-6x+9)-4=(x-3)^2-4\implies S(3|-4)$$

$$\text{e)}\quad y=x^2+3x+4$$Quadratische Ergänzung: \(\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\).$$y=x^2+3x\,\underbrace{+\frac{9}{4}+\frac{7}{4}}_{=+4}=\left(x^2+3x+\frac{9}{4}\right)+\frac{7}{4}=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\implies S\left(-\frac{3}{2}\bigg|\frac{7}{4}\right)$$

$$\text{c)}\quad y=x^2-5x+5$$Quadratische Ergänzung: \(\left(\frac{-5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\).$$y=x^2-5x\,\underbrace{+\frac{25}{4}-\frac{5}{4}}_{=+5}=\left(x^2-5x+\frac{25}{4}\right)-\frac{5}{4}=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\implies S\left(\frac{5}{2}\bigg|-\frac{5}{4}\right)$$

$$\text{i)}\quad y=x^2-2x$$Quadratische Ergänzung: \(\left(\frac{-2}{2}\right)^2=1\).$$y=x^2-2x\,\underbrace{+1-1}_{=0}=(x^2-2x+1)-1=(x-1)^2+1\implies S(1|1)$$

Anhand der Koordinaten der Scheitelpunkt \(S\) erkennst du, wie weit eine Normal-Parabel in \(x\)- und in \(y\)-Richtung verschoben werden muss. \(S(2|-9)\) bedeutet Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(2\) und Verschiebung in \(y\)-Richtung um \((-9)\).

Links vom Scheitelpunkt fällt die Parabel, hat im Scheitelpunkt ihr Minimum und steigt rechts vom Scheitelpunkt wieder an.

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Forme in die Scheitelpunktform um

a)

y = x^2 - 4x - 5
y = (x^2 - 4x) - 5
y = (x^2 - 4x + 4 - 4) - 5
y = (x^2 - 4x + 4) - 9
y = (x - 2)^2 - 9

Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes an. Beschreibe, wie man den Graphen der Funktion durch Verschieben aus der Normalparabel erhalten kann. Wo fällt der Graph, wo steigt er?

S(2 | -9)
Durch Verschiebung um 2 nach rechts und 9 nach unten.
Der Graph fällt für x ≤ 2 und er steigt für x ≥ 2

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