Hallo :)
Ich sitze grade über Übungen zur Konvexgeometrie und komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:
Sei K⊂ℝn eine kompakte konvexe Teilmenge. Beweisen Sie, dass es einen Punkt x∈ℝn
mit - K⊂nK+x gibt.
Problem/Ansatz:
Nach einem Satz aus der Vorlesung muss ich zeigen, dass n+1 Punkte aus - K in (nK+x) enthalten sind.
Dabei habe ich erstmal beliebige Punkte Pj mit j=1,....,n+1 gewählt. Mein erster Impuls wären die Punkte e1,... aus den Einheitsvektoren gewesen, aber K ist ja nur eine Teilmenge von Rn. Also müssen mindestens zwei Punkte beliebig sein.
Wenn ich dann also zu den beliebigen Punkten Pj eine Menge wie folgt definiere:
KP = {x∈Rn: P ∈ x+nK} = P - nK
muss ich zeigen, dass der Schnitt ∩KPi nichtleer ist.
Ab diesem Punkt komme ich nicht weiter. Ich hatte erst die Idee, einen Widerspruchsbeweis zu nutzen, aber dort bin ich auch nicht auf eine Lösung gekommen.
Ich hoffe, mir kann jemand weiterhelfen. :)
Vielen Dank im Voraus.
