Berechnen Sie das Integral ∫B (x2+ 2xy) dA

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Integral ∫_B (x²+ 2xy) dA

Warum ist die Lösung ein Volumen, ich hab doch nur zwei integrale nicht drei?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe wie man das Integral bzw. das Doppelintegralbildet aber wie komme ich auf die Integrationsgrenzen?

Bei y vermutet ich [-x ; x^2] aber auf der x - Achse kenn ich den zweiten wert nicht [0; ???]

Answer 1

Aloha :)

Die Fläche endet jeweils bei \(y=-1\) und bei \(y=+1\). In beiden Fällen ist der zugehörige \(x\)-Wert \(x=1\). Daher läuft \(x\) von \(0\) bis \(1\). Zu integrieren ist also:$$I=\int\limits_B(x^2+2xy)\,dA\quad;\quad B=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,0\le x\le 1\;\land\;-x\le y\le x^2\}$$Das liefert ein Doppelintegral:

$$I=\int\limits_0^1dx\int\limits_{-x}^{x^2}dy(x^2+2xy)=\int\limits_0^1dx\left[x^2y+xy^2\right]_{y=-x}^{x^2}$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1dx\left[(x^4+x^5)-(-x^3+x^3)\right]=\int\limits_0^1\left(x^4+x^5\right)dx$$$$\phantom{I}=\left[\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}\right]_0^1=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{11}{30}$$

Du erhältst die Fläche der Punktmenge \(B\), nicht das Volumen.

Comments

Aber warum Fläche? Wir haben ein Doppelintagral was ein Volumen darstellt, das verstehe ich nicht

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Sorry, ich habe mich unpräzise ausgedrückt. Die Punktmenge \(B\) beschreibt eine Fläche. Jedem Punkt \((x;y)\) dieser Fläche ist es einen Funktionswert \(f(x;y)\) zugeordnet. Diesen Funktionswert kannst du dir als Höhe \(z=f(x;y)\) in einem Gebirge vorstellen. Alle diese Höhen summierst du nun beim Integrieren über \(dx\,dy\) auf. Als Ergebnis erhältst du das Volumen des Gebirges, obwohl du über die Fläche \(B\) integrierst.

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Alles klar, danke!!

Könntest du mir vielleicht bei der Hauptachsentransformation helfen Tschakabumba?

Ich wäre dir sehr dankbar, weil ich finde niemand kann das sos gut erklären so wie du! :) Ahloa