Wie leite ich f(x)= (x^2-4)^-1 ab?

Question

Ich habe eine komplexe Aufgabe und einen Lösungsweg dazu, dieser ergibt für mich aber keinen Sinn.

Es handelt sich um eine Ableitung, welche meines errachtens falsch ist.

Kann mir jemand erklären, wie man folgende Funktion ableitet ?

f(x)= (x^2-4)^-1

Lautet die Ableitung jetzt: -1(2x)^-2 oder -1(x^2-4)^-2

Welche wäre es, und warum ?

Viele liebe Grüße und ein großes Danke an euch !
Eure alina ! :))

Answer 1

Hallo,

y=(x^2-4)^(-1)    ; z=x^2-4  ->innere Funktion dz/dx= 2x

y=1/z ->äußere Funktion

dy/dz= -1/z^2

y' =f'(x)= dy/dz * dz/dx

y'= -1/z^2    *   2x

y'= (-1)/(x^2-4)^2 *2x

y'= (-2x)/((x^2-4)^2)

Answer 2

Hallo,

mit der Kettenregel (Produkt aus äußerer und innerer Ableitung) sieht das so aus:

innere Funktion \(u=x^2-4\\u'=2x\\\)

äußere Funktion \(f=u^{-1}\\f'=-u^{-2}\)

Produkt aus f' und u' \(=-2x\cdot u^{-2}\quad \text{oder}\quad -\frac{2x}{u^2}\)

Dann für u x² - 4 einsetzen

\(f'(x)=-\frac{2x}{(x^2-4)^2}\)

Gruß, Silvia

Answer 3

Aloha :)

Hier kannst du die Kettenregel verwenden:

$$f'(x)=\left(\;(\,\boxed{x^2-4}\,)^{-1}\;\right)'$$$$\phantom{f'(x)}=\underbrace{(-1)\cdot(\,\boxed{x^2-4}\,)^{-2}}_{=\text{äußere Ableitung}}\cdot\,\underbrace{(\;\boxed{x^2-4}\;)'}_{=\text{innere Ableitung}}$$$$\phantom{f'(x)}=(-1)\cdot(x^2-4)^{-2}\cdot2x$$$$\phantom{f'(x)}=-2x\cdot(x^2-4)^{-2}=-\frac{2x}{(x^2-4)^2}$$