Verschachtelte Wurzeln und Potenzen vereinfachen

Question

Aufgabe:

\( \sqrt[3]{a^2\sqrt[2]{a\sqrt[3]{a^2}}} \)

Problem/Ansatz

Hallo, ich weiß, dass bei obiger Rechnung \( \sqrt[18]{a^17} \) herauskommt. Ich komme aber leider nicht darauf wie man das rechnet. Auf die 18 komme ich mehr oder weniger, aber wie kommt man auf die a^17?

Und wie würde es aussehen, wenn man diese Rechnung in Exponentenschreibweise darstellt?

Answer 1

Hi,

wollen wir zusammen versuchen das umzuschreiben?

Schreib dafür als erstes Mal nur das innerste a mit ihrer Wurzel um in Exponentenschreibweise. Dann schauen wir weiter :).

Grüße

Comments

Hallo,

ja gerne

also \( \sqrt[3]{a^2} \) wäre ja dann a^\( \frac{2}{3} \)

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Yup sehr gut,

wir haben also stehen:

\( \sqrt[3]{a^2·\sqrt{a·a^{2/3}}} \)

In der innersten Wurzel würde ich nun zusammenfassen. Bekommst Du das hin? Dann haben wir eine neue innerste Wurzel und machen genau das gleiche wie zuvor. Was haben wir dann dastehen? :)

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das wären dann zunächst a^{3/3 + 2/3} = a^5/3

inklusive der Wurzel also: a^5/3/2 = a^5/6
richtig?

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Klappt doch wunderbar. Dann mach die Sache vollends fertig :).

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a^{5/6 + 12/6} = a^17/6

a^{17/6 * 1/3}  = a^17/18

Vielen Dank, das hat mir sehr weitergeholfen. Ich stand irgendwie auf dem Schlauch

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Klasse! Freut mich und gerne :).

Answer 2

\( \sqrt[3]{a^2·\sqrt{a·a^{2/3}}} \)

\( \sqrt[3]{a^2·a^{1/2}·a^{1/3}} \)

\( \sqrt[3]{a^{17/6}} \)

\( a^{17/18} \)=\( \sqrt[18]{a^{17}} \).    

Answer 3

\( \sqrt[3]{a^{2} \cdot \sqrt{a \cdot \sqrt[3]{a^{2}}}}= \)

\( =\sqrt[3]{a^{2} \cdot \sqrt{a \cdot\left(a^{\frac{2}{3}}\right)}}= \)
\( =\sqrt[3]{a^{2} \cdot \sqrt{a^{\frac{5}{3}}}}= \)
\( =\sqrt[3]{a^{2} \cdot a^{\frac{5}{6}}}= \)
\( =\sqrt[3]{a^{\frac{17}{6}}}= \)
\( =a^{\frac{17}{18}} \)

Answer 4

Man kann Wurzeln und Potenzen auch voneinander trennen und kommt dann ohne das Umschreiben aus:$$ \sqrt[3\:]{a^2\cdot\sqrt[2\:]{a\cdot\sqrt[3\:]{a^2}}} \\ = \sqrt[3\:]{\sqrt[2\:]{\left(a^2\right)^2\cdot a\cdot\sqrt[3\:]{a^2}}} \\ = \sqrt[3\:]{\sqrt[2\:]{\sqrt[3\:]{\left(\left(a^2\right)^2\cdot a\right)^3\cdot a^2}}} \\ = \sqrt[3\cdot 2\cdot 3\:]{a^{\left(2\cdot 2+1\right)\cdot 3+2}} \\ = \sqrt[18\:]{a^{17}}. $$