Berechne den Grenzwert von lim n- ∞ (a^1/n)-1)) / (b^1/n)-1)

Question

Aufgabe:

Berechne den Grenzwert von lim n->∞ (a^^1/n-1) / (b^^1/n-1)

Problem/Ansatz:

Ich würde hierbei L´Hopital anwenden, da der Zähler und Nenner gegen 0 geht ?

dementsprechend leite ich Zähler und Nenner ab und bekomme :(a^^1/n-1) / (n) / (b^^1/n-1) / (n)

Hier würden ja wieder Zähler und Nenner für n->∞ gegen 0 gehen oder?

Muss ich dann nochmal L´Hopital anwenden, oder bin ich komplett auf dem Holzweg?

Ich würde mich über jede Hilfe freuen.

Answer 1

Aloha :)

Ich gehe im Fogenden davon aus, dass \(a,b>0\) sind.

Die Verwendung der Krankenhausregel ist schon richtig, nur hast du falsch abgelitten. Zum Ableiten nutzen wir aus, dass die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion ihre Wirkungen gegenseitig kompensieren:$$\left(a^{1/x}\right)'=\left(e^{\ln\left(a^{1/x}\right)}\right)'=\left(e^{\frac{1}{x}\ln\left(a\right)}\right)'\stackrel{\text{Kettenregel}}=\underbrace{e^{\frac{1}{x}\ln\left(a\right)}}_{=a^{1/x}}\cdot\left(\frac{1}{x}\ln(a)\right)'=a^{1/x}\cdot\left(-\frac{\ln(a)}{x^2}\right)$$Damit ist nun:$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^{1/n}-1}{b^{1/n}-1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{-a^{1/n}\cdot\frac{\ln(a)}{x^2}}{-b^{1/n}\cdot\frac{\ln(b)}{x^2}}=\frac{\ln(a)}{\ln(b)}\cdot\frac{\lim\limits_{n\to\infty} a^{1/n}}{\lim\limits_{n\to\infty} b^{1/n}}=\frac{\ln(a)}{\ln(b)}\cdot\frac{1}{1}=\frac{\ln(a)}{\ln(b)}$$

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Herzlichsten Dank