Berechnen Sie - im Falle der Existenz - den Grenzwert \lim _{n → ∞} \varphi_{n} und prüfen Sie, ob dieser das AWP löst.

Question

Text erkannt:

Gegeben sei das AWP
\( y^{\prime}=x+y, \quad y(0)=0 \)
sowie die Rekursion
\( \begin{aligned} \varphi_{0}(x) & :=0, \\ \varphi_{n+1}(x) & :=\int \limits_{0}^{x} t+\varphi_{n}(t) \mathrm{d} t . \end{aligned} \)
Geben Sie eine allgemeine (explizite) Formel für \( \varphi_{n} \) an und beweisen Sie diese durch vollständige Induktion.

Berechnen Sie - im Falle der Existenz - den Grenzwert \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \varphi_{n} \) und prüfen Sie, ob dieser das AWP löst.

Aufgabe:

Vorbereitend auf die Klausur bin ich auf diese Aufgabe gestoßen und frage mich, was für eine Lösung dort herauskommt. Ich kann mir leider gar nichts darunter vorstellen. Hat hier vielleicht jemand eine Idee?

Answer 1

Von der Kenntnis der Lösung lernst Du ja nichts. Fang doch an, \(\varphi_1, \varphi_2, ...\) zu berechnen und schau, ob Du ein Muster erkennst.

Comments

Ich erkenne darin leider kein Muster

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Was hast Du denn für $\varphi_1,\varphi_2, \varphi_3\) erhalten? Erstes Muster: im Nenner Fakultät benutzen.