Zeige Summe von Matrizen.

Question

Text erkannt:

Gegeben sei die Matrix
\( N=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & & 0 \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ 0 & & & 0 \end{array}\right] \in M(n \times n, \mathbb{K}) . \)
Zeigen Sie dass für \( k=1, \ldots, n-1 \),
\( \left.N^{k}=\left[\begin{array}{cccccc} 0 & \cdots & 0 & 1 & & 0 \\ & \ddots & & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & & \ddots & 1 \\ & & & \ddots & & 0 \\ & & & & \ddots & \vdots \\ 0 & & & & & 0 \end{array}\right]\right\} k \)
ist. Was ist \( N^{k} \) für \( k \geqslant n \) ?.
Seien \( B, C \in M(n \times n, \mathbb{K}) \), so dass \( B C=C B \). Zeigen Sie für \( l \in \mathbb{N} \) :
\( (B+C)^{l}=\sum \limits_{k=0}^{l}\left(\begin{array}{l} l \\ k \end{array}\right) B^{k} C^{l-k} . \)
Hinweis. Üblicher Weise ist \( A^{0}=I \) definiert.
Sei \( A=\lambda I+N \), wobei \( \lambda \in \mathbb{K} \) und \( N \) aus Teil (a). Bestimmen Sie \( A^{l} \).

Hallo, ich war letzte Woche krank und bin nun total mit meinen wöchentlichen Aufgaben überfordert. Kann mir vielleicht jemand dabei helfen? Ich weiß leider nur, dass A^0 eine nilpotente Matrix ist und ich habe keine Idee wie ich damit weiter rechnen soll.

Vielen Dank für eine Hilfe im Voraus

LG

Answer 1

1. Ist \(e_1,\cdots, e_n\) die Standardeinheitsbasis,

so sieht man, dass

\(N(e_1)=0,N(e_2)=e_1,\cdots,N(e_n)=e_{n-1}\),

1-malige Anwendung von \(N\) verringert also den Index

der Basisvektoren um 1, außer bei \(e_1\).

Daher liefert \(k\)-malige  Anwendung von \(N\) (\(k\in \mathbb{N}^*\)):

\(N^k(e_i)=0\) für \(i\leq k\) und

\(N^k(e_i)=e_{i-k}\) für \(i>k\).

Insbesondere bildet \(N^k\) die Basiselemente auf 0 ab,

ist also die Nullmatrix, wenn \(k\geq n\) ist.

Answer 2

Vermutlich zeigt man das durch vollständige Induktion. Für den Induktionsschritt musst du die (n+1)×(n+1) Matrix nach der letzten Zeile entwickeln.