Bestimmen Sie \lim _{t → ∞} f(t) und \lim _{t →-∞} f(t)

Question

Aufgabe:

Die Funktion \( f(t)=\frac{2}{1+e^{-a t}} ; a>0 \) beschreibt die durchschnittliche Anzahl von Smartphones in Haushalten. Der Parameter \( t \) stellt dabei die Zeit dar.
a) Ermitteln Sie den Wert für \( a \) für den zum Zeitpunkt \( t=1 \) die Funktion den Wert 1,5 annimmt.
b) Bestimmen Sie \( \lim \limits_{t \rightarrow \infty} f(t) \) und \( \lim \limits_{t \rightarrow-\infty} f(t) \)
c) Zu welchem Zeitpunkt \( t \) erreicht die Funktion \( 90 \% \) des maximal möglichen Wertes?

Problem/Ansatz:

Ich stehe vor dieser aufgabe und weiss wenn ich ehrlich bin gar nicht wie ich anfangen soll oder wie ich rechnen soll. Könnte mir jemand helfen bitte :) ?

Answer 1

\( f(t)=\frac{2}{1+e^{-a t}} ; a>0 \) und f(t)=1,5

==>  \( \frac{2}{1+e^{-a \cdot 1}} = 1,5 \)

==>  \( 2 = 1,5 (1+e^{-a })\)

==>  \( 2 = 1,5 +  1,5 e^{-a }\)

==>  \( 0,5 = 1,5 e^{-a }\)

==>  \(\frac{1}{3}   = e^{-a }\)

==>  \(  ln (\frac{1}{3})  = -a \)

==>   a=ln(3)≈1,099

\( \lim \limits_{t \rightarrow \infty} f(t) = 2 \)  denn \(  e^{ -at}\) geht gegen 0.

\( \lim \limits_{t \rightarrow-\infty} f(t) = 0 \)

90% von 2 sind 1,8. Damit hast du

\( \frac{2}{1+e^{-a \cdot t}} = 1,8 \)

==>  \( 2 = 1,8 (1+e^{-at })\)

==>  \( 2 = 1,8 +  1,8 e^{-at }\)

==>  \( 0,2 = 1,8 e^{-at }\)

==>  \(\frac{1}{9}  = e^{-at }\)

==>     \(ln(\frac{1}{9})  = -at \)

==>    \(ln(9)  = at \)  ==>     \(   t =  \frac{ln(9)}{a}  \)

Answer 2

\( f(t)=\frac{2}{1+e^{-a t}} ; a>0 \)

a) Ermitteln Sie den Wert für \( a \) für den zum Zeitpunkt \( t=1 \) die Funktion den Wert 1,5 annimmt.

\( f(1)=\frac{2}{1+e^{-a *1}} =1,5  |*(1+e^{-a *1}) \)

\(2 =1,5*(1+e^{-a *1}) \)

\(\frac{4}{3}=1+e^{-a } \)

\(\frac{1}{3}=\frac{1}{e^{a }} \)

\(e^{a }=3\)

\(a*ln(e)=ln(3 )\)       \(ln(e)=1\)

\(a=ln(3 )\)

Oder:

\(e^{a }=3\)

\(e^{a }=e^{ln(3) }\)

\(a=ln(3 )\)